در حل این مساله که به $EGZ theorem (Erdős-Ginzburg-Ziv)$ مشهور است، از لم زیر کمک می گیریم:
لم:اگر $A$ و $B$ دو زیر مجموعه از $Z_p$ باشند و $ \emptyset \neq A \neq Z_p$ و $|B|=2$، آنگاه $|A+B| \geq |A|+1$.
اثبات:می توان فرض کرد که $B=[0,b]$ و $0 \neq b$ (؟) لذا $A \subseteq A+B$.حالا اگر $A=A+B$ می توان نشان داد که اگر $a$ عضوی دلخواه از $A$ باشد، برای هر عدد طبیعی $k$ ،$a+kb \in $ و از آنجا $Z_p=A$.$ \perp $
اثبات:می توان فرض کرد که $0 \leq a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_{2p-1} \leq p-1$ اعضای فرض مساله باشند.اگر یک $i$ موجود باشد که $1 \leq i \leq p$ و برای هر $j$ که $1 \leq j \leq p$ و داشته باشیم $a_i=a_{j+p-1}$ ، آنگاه اعضای مطلوب ما $a_p,a_{p+1},...a_{2p-1}$ هستند زیرا:
$a_p+a_{p+1}+...+a_{2p-1}=a_i+a_i+...+a_i=pa_i=0$
در غیر این صورت :
$ \forall 1 \leq i \leq p \exists 1 \leq j_i \leq p : a_i \neq a_{j_i+p-1}$
حالا قرار دهید:
$A_1=[a_1],A_i=[a_i,a_{j_i+p-1}] \forall 2 \leq i \leq p$
حالا از لم بالا داریم:
$|A_1+A_2+...+A_p| \geq |A_1+A_2+...A_{p-1}|+1\geq |A_1+A_2+...A_{p-2}|+1+1$
$...\geq 2+p-1=p+1 \Rightarrow A_1+A_2+...+A_p=Z_p$
$\Rightarrow \forall 0 \leq i \leq p-1\exists b_i: \sum _{i=0}^{p-1}b_i=0$
$ \Box $
در این استدلال از $[]$ برای نماد مجموعه استفاده شده است.
