به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
7,179 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Mahtab (13 امتیاز)
ویرایش شده توسط Mahtab

چطور میشه با اصل پنجم اقلیدس ثابت کرد مجموع زوایا داخلی مثلث بیش از صدوهشتاد درجه میشه؟ http://sciencedirect.persianblog.ir/post/8/

مرجع: پاسخنامه کتاب مبتکران سال نهم.نوشته آقای وحید اسدی کیا.صفحه۱۱۳.فصل سه.نکته صدوهشتم
توسط Mahtab (13 امتیاز)
نه.مطمئنم سوال درسته.اگه کتاب مبتکران رو ببینید متوجه میشید.
توسط saderi7 (7,822 امتیاز)
میشه ی مثلث بکشید ک مجموعه زوایای داخلیش بیش از 180 درجه باشه؟
توسط fatemeh20 (175 امتیاز)
بهتر است کتاب هندسه های اقلیدسی و نا اقلیدسی گرینبرگ رو مطالعه کنید
توسط Mahtab (13 امتیاز)
ممنون حتما میرم دنبالش
توسط Mahtab (13 امتیاز)
من خودم هنوز نمیدونم اینچنین چیزی حتما هست.فقط تو یک کتاب خوندم و از چندنفر شنیدم.اما تو متن سوالم یه لینک گذاشتم.این تنهالینکیه که تونستم دررابطه با این سوال پیدا کنم.اینجا هم میذارم.اما وبلاگش زیا معتبر نیست
http://sciencedirect.persianblog.ir/post/8/

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina (17,196 امتیاز)
انتخاب شده توسط Mahtab
 
بهترین پاسخ

همونطور که میدونید ما در هندسه اقلیدسی 5 اصل موضوع یا بنداشت داریم:

  1. هر دو نقطه متمایز یک خط منحصر به فرد را مشخص می کند.
  2. هر پاره خط را می توان به اندازه هر پاره خط دیگر در یک خط راست ادامه داد.
  3. می توان یک دایره با مرکز و شعاع دلخواه را مشخص کرد.
  4. همه زوایای قائمه قابل انطباق هستند.
  5. از هر نقطه تنها یک خط به موازات خط داده شده می توان رسم کرد.

هندسه ای که با این اصول موضوعه ساخته می شود به هندسه اقلیدسی مشهور است و می دانید که می توانیم ثابت کنیم مجموع زوایای هر مثلث برابر 180 درجه است.

اما ما هندسه های دیگری داریم که به هندسه نااقلیدسی مشهورند. به عنوان مثال در هندسه هذلولوی( که به جای اصل پنجم اقلیدس اصل دیگری که به اصل هذلولوی معروف است اضافه میکنیم: از هر نقطه حداقل دو خط موازی با خط داده شده بتوان رسم کرد) می توان ثابت کرد که مجموع زوایای داخلی هر مثلث کمتر از 180 است.(برای اثبات به بخش هندسه هذلولوی کتاب هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی گرینبرگ مراجعه کنید که در اولین لم این بخش وجود چنین مثلثی اثبات شده است)

در هندسه بیضوی( هندسه ای که در آن از هر نقطه نتوان هیچ خطی به موازات خط داده شده رسم کرد؛ یعنی هیچ دو خط موازی وجود نداشته باشد) می توان ثابت کرد که مجموع زوایای داخلی مثلث بیشتر از 180 است.

در شکل زیر به ترتیب هدسه های کروی، اقلیدسی و هذلولوی نشان داده شده اند:

geometries

یک مثال که به کمک آن می توان هندسه بیضوی را درک کرد نگاه کردن به یک کره است. ما در هندسه کروی خط را دوایر عظیمه در نظر میگیریم. یعنی دایره ای که از برخورد یک صفحه با سطح کره ایجاد می شود به طوریکه صفحه از مرکز کره بگذرد. در اینصورت هر دو خط(هر دو دایره عظیمه) در دقیقا دو نقطه یکدیگر را قطع می کنند.

مثلث کروی که از برخورد سه خط در کره ایجاد می شود می توان نشان داد که مجموع زوایای مثلث کروی بیشتر از $\pi$ و کمتر از $3\pi$ است.

spherical triangle

به عنوان مثال مثلث اولی از سمت چپ دارای سه زاویه قائمه است و الی آخر...


جالبه به این نکته هم اشاره کنم که همواره بین مساحت مثلث کروی $\Delta$ با زوایای $A, B , C$ و شعاع کره $R$ رابطه زیر برقرار است: $$\Delta=R^2((A+B+C)-\pi)$$

مثلا مثلث اولی با سه زاویه قائمه $\frac 18$ سطح کره را اشغال کرده و چون کل کره مساحتی برابر $4\pi R^2$ دارد پس مساحت آن برابر $$\frac 18(4\pi R^2)=\frac 12\pi R^2=R^2((\frac\pi 2+\frac \pi2+\frac \pi2)-\pi)$$


0 امتیاز
توسط

بله بیش تر از 180 میشه.زمانیکه مثلثی روی یک مستطیل بکشید بعد اون رو کروی شکل کنید.میبینید که زاویه داختی آن بیش از180هست


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...