همونطور که میدونید ما در هندسه اقلیدسی 5 اصل موضوع یا بنداشت داریم:
- هر دو نقطه متمایز یک خط منحصر به فرد را مشخص می کند.
- هر پاره خط را می توان به اندازه هر پاره خط دیگر در یک خط راست ادامه داد.
- می توان یک دایره با مرکز و شعاع دلخواه را مشخص کرد.
- همه زوایای قائمه قابل انطباق هستند.
- از هر نقطه تنها یک خط به موازات خط داده شده می توان رسم کرد.
هندسه ای که با این اصول موضوعه ساخته می شود به هندسه اقلیدسی مشهور است و می دانید که می توانیم ثابت کنیم مجموع زوایای هر مثلث برابر 180 درجه است.
اما ما هندسه های دیگری داریم که به هندسه نااقلیدسی مشهورند. به عنوان مثال در هندسه هذلولوی( که به جای اصل پنجم اقلیدس اصل دیگری که به اصل هذلولوی معروف است اضافه میکنیم: از هر نقطه حداقل دو خط موازی با خط داده شده بتوان رسم کرد) می توان ثابت کرد که مجموع زوایای داخلی هر مثلث کمتر از 180 است.(برای اثبات به بخش هندسه هذلولوی کتاب هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی گرینبرگ مراجعه کنید که در اولین لم این بخش وجود چنین مثلثی اثبات شده است)
در هندسه بیضوی( هندسه ای که در آن از هر نقطه نتوان هیچ خطی به موازات خط داده شده رسم کرد؛ یعنی هیچ دو خط موازی وجود نداشته باشد) می توان ثابت کرد که مجموع زوایای داخلی مثلث بیشتر از 180 است.
در شکل زیر به ترتیب هدسه های کروی، اقلیدسی و هذلولوی نشان داده شده اند:
یک مثال که به کمک آن می توان هندسه بیضوی را درک کرد نگاه کردن به یک کره است. ما در هندسه کروی خط را دوایر عظیمه در نظر میگیریم. یعنی دایره ای که از برخورد یک صفحه با سطح کره ایجاد می شود به طوریکه صفحه از مرکز کره بگذرد. در اینصورت هر دو خط(هر دو دایره عظیمه) در دقیقا دو نقطه یکدیگر را قطع می کنند.
مثلث کروی که از برخورد سه خط در کره ایجاد می شود می توان نشان داد که مجموع زوایای مثلث کروی بیشتر از $\pi$ و کمتر از $3\pi$ است.
به عنوان مثال مثلث اولی از سمت چپ دارای سه زاویه قائمه است و الی آخر...
جالبه به این نکته هم اشاره کنم که همواره بین مساحت مثلث کروی $\Delta$ با زوایای $A, B , C$ و شعاع کره $R$ رابطه زیر برقرار است:
$$\Delta=R^2((A+B+C)-\pi)$$
مثلا مثلث اولی با سه زاویه قائمه $\frac 18$ سطح کره را اشغال کرده و چون کل کره مساحتی برابر $4\pi R^2$ دارد پس مساحت آن برابر
$$\frac 18(4\pi R^2)=\frac 12\pi R^2=R^2((\frac\pi 2+\frac \pi2+\frac \pi2)-\pi)$$
