$$\begin{align}x^x&=e^{ln(x^x)}\\
&=e^{x\ ln\ x}\\
&=1+x\ ln\ x\ +\frac{1}{2!}\ (x\ ln\ x)^2\ +\frac{1}{3!}(x\ ln\ x)^3\ + ...\\
&=1+x\ ln\ x\ +\frac{1}{2!}\ x^2\ ( ln\ x)^2\ +\frac{1}{3!}x^3\ (ln\ x)^3\ + ...
\end{align} $$
پس :
$$\begin{align} \int_0^1 x^x\ dx&=\int_{0}^1(1+x\ ln\ x\ +\frac{1}{2!}\ x^2\ (ln\ x)^2\ +\frac{1}{3!}x^3\ (ln\ x)^3\ + ...)\ dx\\
\end{align} $$
حال برای محاسبه انتگرال های بالا از فرمول زیر استفاده می کنیم :
$$ \int_{0}^1\ x^{m}\ (ln\ x)^n\ dx=(-1)^n\frac{n!}{(m+1)^{n+1}}$$
داریم :
$$\int_0^1 x^x\ dx=1-\frac{1}{(1+1)^2}+\frac{1}{(2 +1)^3}-\frac{1}{(3+1)^4}+...$$
پس :
$$\int_0^1 x^x\ dx=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^4}+...$$
