به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
62 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

انتگرال زیر را محاسبه کنید

$ \int_0^1 x^{x}dx $

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
انتخاب شده توسط
 
بهترین پاسخ
$$\begin{align}x^x&=e^{ln(x^x)}\\ &=e^{x\ ln\ x}\\ &=1+x\ ln\ x\ +\frac{1}{2!}\ (x\ ln\ x)^2\ +\frac{1}{3!}(x\ ln\ x)^3\ + ...\\ &=1+x\ ln\ x\ +\frac{1}{2!}\ x^2\ ( ln\ x)^2\ +\frac{1}{3!}x^3\ (ln\ x)^3\ + ... \end{align} $$

پس : $$\begin{align} \int_0^1 x^x\ dx&=\int_{0}^1(1+x\ ln\ x\ +\frac{1}{2!}\ x^2\ (ln\ x)^2\ +\frac{1}{3!}x^3\ (ln\ x)^3\ + ...)\ dx\\ \end{align} $$

حال برای محاسبه انتگرال های بالا از فرمول زیر استفاده می کنیم :

$$ \int_{0}^1\ x^{m}\ (ln\ x)^n\ dx=(-1)^n\frac{n!}{(m+1)^{n+1}}$$ داریم : $$\int_0^1 x^x\ dx=1-\frac{1}{(1+1)^2}+\frac{1}{(2 +1)^3}-\frac{1}{(3+1)^4}+...$$ پس : $$\int_0^1 x^x\ dx=1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{4^4}+...$$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...