تمرین‌های پایان فصل ۱۴ برای هر دو فصل ۱۳ و ۱۴با هم است. در فصل ۱۳ تابع مشخصهٔ یک متغیر تصادفی معرفی می‌شود و سپس کتاب ویژگی‌های آن و علت معرفی‌شدن این مفهوم را پیگیری می‌کند. در واقع تابع مشخصه یک ابزار است مانند تابع مولد گشتاور. دانستن یک سری اطلاعات پیرامون این تابع، یک سری اطلاعات پیرامون خود متغیر تصادفی و توزیعش را آشکار می‌کند.
من تخصصم آمار نیست ولی با یک مطالعهٔ روزنامه‌وار از ابتدای صفحهٔ ۱۰۳ تا پایان صفحهٔ ۱۱۴ در هنگام ناهار، توانستم پرسش ۸ را در همان نگاه نخست حل کنم. در واقع این تمرین چیزی نیست جز مرور آنچه در این دو فصل خوانده‌اید و صد البته یکی از کاربردهای این ابزار.
دو متغیر تصادفی X و Y دارای توزیع یکسان هستند و مستقل از یکدیگرند. مستقل بودن به این کار می‌آید که امید حاصلضربشان برابر حاصلضرب امیدشان می‌شود. تعریف تابع مشخصهٔ یک متغیر تصادفی را نیز یادآور می‌شویم که برای متغیر تصادفی X برابر می‌شود با تابع یک متغیرهٔ زیر که در آن u متغیر این تابع است.
$$\phi_X(u)=E(e^{i\langle u,x\rangle})$$
که منظور از $i$ عدد موهومی و از $\langle a,b\rangle$، حاصلضرب داخلی a و b است. ویژگی دوخطی بودن حاصلضرب داخلی دو بردار حقیقی را به یاد آورید؛
$$\begin{array}{l}\langle ra+a',b\rangle=r\langle a,b\rangle+\langle a',b\rangle\\ \langle a,rb+b'\rangle=r\langle a,b\rangle+\langle a,b'\rangle\end{array}$$
اگر متن را به ترتیب نوشته شده جلو آمده باشید پیش از این تمرین دو تمرین دیگر نوشته شده‌است! نویسنده‌های خوب همیشه در ترتیب نوشته‌هایشان دلیل دارند به ویژه اگر ریاضی‌دان خوب نیز باشند کاملاً ترتیب حتی واژه‌هایشان معنادار است!
تمرین ۶ می‌گوید $\phi_X(-u)$ برابر با مزدوج مختلطِ $\phi_X(u)$ می‌شود که با یک خط در بالایش نشان می‌دهیم یعنی $\overline{\phi_X(u)}$.
تمرین ۷ می‌گوید اگر تابع مشخصهٔ یک متغیر تصادفی که تابعی با هم‌دامنهٔ اعداد مختلط است، تابعی حقیقی‌مقدار شود (یعنی بردش عدد حقیقی بدون قسمت موهومی شود) آنگاه تابع توزیع متغیر تصادفی‌مان متقارن است.
نکتهٔ پایانی اینکه برخی تا «توزیع متقارن» به چشمشان می‌خورد فکر می‌کنند باید حتماً با توزیع نرمال سر و کار داشته باشند! لذا اگر شما نیز این چنین فکر کنید ممکن است منحرف شده و تلاش به استفاده از مثال ۵ صفحهٔ ۱۰۷ کنید. برای همین است که نویسنده پس از تمرین ۷ داخل پرانتز معنای توزیع متقارن را تأکید کرده‌است!
و اما پاسخ پرسش ۸؛
$$\begin{array}{lcl}\phi_{X-Y}(u) & = & E(e^{i\langle u,x-y\rangle})\\ & = & E(e^{i\langle u,x\rangle-i\langle u,y\rangle})\\ & = & E(e^{i\langle u,x\rangle}e^{-i\langle u,y\rangle})\\ & = & E(e^{i\langle u,x\rangle})E(e^{-i\langle u,y\rangle})\\ & = & E(e^{i\langle u,x\rangle})E(e^{i\langle -u,y\rangle})\\ & = & \phi_X(u)\phi_Y(-u)\\ & = & \phi_X(u)\phi_X(-u)\\ & = & \phi_X(u)\overline{\phi_X(u)}\\ & = & |\phi_X(u)|^2\in\mathbb{R}\end{array}$$
نگاه کنید که هیچ چیز هدر نرفته‌است، در خط یکم و ششم تعریف تابع مشخصه، در خط‌های دوم و پنجم از ویژگی‌های ضرب داخلی، خط سوم از ویژگی توان، در خط چهارم از ناوابستگی (استقلال)، در خط هفتم از یکسان بودن توزیع‌ها، در خط هشتم از تمرین ۶ و در خط نهم از اینکه ضرب یک عدد مختلط در مزدوجش برابر توان‌دوی اندازه‌اش که عددی حقیقی است استفاده شده‌است. و در نهایت از تمرین ۷ چون $\phi_{X-Y}(u)\in\mathbb{R}$ نتیجه می‌شود که $X-Y$ توزیعی متقارن دارد.
