این نخستین پرسشی است که می‌بینم انصافاً دارای مشکل بوده‌است و نیاز به درخواست راهنمایی دارد. علت آن نیز این است که در صورت قضیهٔ ۱۳.۲ و به دنبال آن در تمام صفحه‌های ۱۰۴ و ۱۰۵ مشتق‌ها اشتباه نوشته شده‌اند. در واقع تابع سرشتنما (مشخصه) تابعی بر حسب متغیر (یا بردار) u است و نه x! پس نمی‌توان از آن بر حسب
$x_i$ ها مشتق گرفت بلکه بر حسب $u_i$ می‌توان مشتق گرفت. (نسخه‌ای از کتاب که من می‌خوان ویرایش دوم چاپ ۲۰۰۲ است)
جالب است بدانید که این تمرین کاربرد خوبی از تابع سرشتنما نیست و به‌کار بردن تابع سرشتنما برای اثبات این گزاره جز چرخاندن لقمه بر دور دهان و سخت‌کردن پاسخ، چیزی ندارد اما نیت آن بوده‌است که از قضیهٔ ۱۳.۲ استفاده کنید.
پیش از دادن پاسخ اصلی، پاسخ بسیار ساده که بدون کمک‌گیری از تابع مشخصه است را ارائه می‌دهیم. توجه کنید که داریم؛
$$(\sum_{i=1}^nX_i)^3=\sum_{i=1}^nX_i^3+3\sum_{1\leq i< j\leq n}(X_i^2X_j+X_iX_j^2)$$
و اینکه امید از جمع متناهی عبور می‌کند و امید ضرب دو متغیر ناوابسته (مستقل)، ضرب امید آن دو میشود. پس داریم؛
$$E((\sum_{i=1}^nX_i)^3) =\sum_{i=1}^nE(X_i^3)+3\sum_{1\leq i< j\leq n}(E(X_i^2)E(X_j)+E(X_i)E(X_j^2))$$
اما توجه کنید که امید این متغیرها بنا به فرض پرسش صفر است یعنی برای هر i داریم $E(X_i)=0$ پس؛
$$E((\sum_{i=1}^nX_i)^3) =\sum_{i=1}^nE(X_i^3)$$
بنابراین بدون نیاز به هیچ زحمتی با همان ویژگی‌های مقدماتی گزاره ثابت شد.
اما اکنون توجه کنید که اگر در قضیهٔ ۱۳.۲ یک متغیر تصادفی و نه یک بردار تصادفی مانند X بردارید آنگاه u نیز یک متغیر است و نه بردار، و با قرار دادن $m=3$ و $j_1=j_2=j_3=1$ داریم؛
$$\frac{\partial^3}{\partial u^3}\phi_X(u)|_{u=0}=iE(X^3)$$
توجه کنید که متغیر تصادفی $Y=\sum_{i=1}^nX_i$ یک متغیر تصادفی یک بعدی است و نه یک بردار تصادفی n-بعدی! بنابراین داریم؛
$$\frac{\partial^3}{\partial u^3}\phi_Y(u)|_{u=0}=iE(Y^3)=iE((\sum_{i=1}^nX_i)^3) $$
اکنون کافیست سمت چپ را ساده کنیم.
در اینجا نکته‌ای که در نمونهٔ ۲ صفحهٔ ۱۰۶ در کتاب اشاره شده‌است را به کار می‌بندیم که می‌گفت تابع سرشت‌نمای جمع یک تعداد متناهی متغیر تصادفی ناوابسته برابر با حاصلضرب تابع‌های سرشت‌نمای تک‌تک آنها می‌شد. پس؛
$$\phi_Y(u)=\phi_{\sum_{i=1}^nX_i}(u)=\prod_{i=1}^n\phi_{X_i}(u)$$
قانون مشتق‌گیری زیر را به یادآورید؛
$$\begin{array}{l}(uv)'=u'v+uv'\\ (\prod_{i=1}^nu_i)'=\sum_{i=1}^nu_i'(\prod_{j\neq i}u_j)\end{array}$$
و همین‌گونه به یادآورید که $(u+v)'=u'+v'$. بنابراین با دوباره مشتق گرفتن از رابطهٔ مشتق حاصلضرب‌ها داریم؛
$$\begin{array}{lcl}(\prod_{i=1}^nu_i)'' & = & (\sum_{i=1}^nu_i'(\prod_{j\neq i}u_j))'\\ & = & \sum_{i=1}^n(u_i'\prod_{j\neq i}u_j)'\\ & = & \sum_{i=1}^n(u_i''\prod_{j\neq i}u_j+u_i'\sum_{j\neq i}u_j'\prod_{k\neq i,j}u_k) \\ & = & \sum_{i=1}^nu_i''(\prod_{j\neq i}u_j)+\sum_{i< j}u_i'u_j'(\prod_{k\neq i,j}u_k)\end{array}$$
با مشتق گرفتن برای دفعهٔ سوم می‌توانید ببینید که به رابطهٔ زیر می‌رسید.
$$\sum_{i=1}^nu_i'''(\prod_{j\neq i}u_j)+\sum_{i< j}u_i''u_j'(\prod_{k\neq i,j}u_k)+\sum_{i< j< k}u_i'u_j'u_k'(\prod_{l\neq i,j,k}u_l)$$
پس سه نوع جمله در مشتق سوم $\prod_{i=1}^n\phi_{X_i}(u)$ داریم. یکی‌یکی آنها را بررسی و در آنها جایگذاری $u=0$ را انجام می‌دهیم.
توجه کنید که در خود تابع سرشتنما اگر قرار دهیم $u=0$ حاصل یک میشود زیرا ضرب داخلی هر چیزی در بردار صفر برابر صفر میشود و در نتیجه مقدار تابع سرشتنما امید e به توان صفر یعنی یک است و امید مقدار ثابت برابر خود آن مقدار ثابت میشود.
$$\begin{array}{lcl}\frac{\partial^3}{\partial u^3}\phi_{X_i}(u)(\prod_{j\neq i}\phi_{X_j}(u))|_{u=0} & = & \frac{\partial^3}{\partial u^3}\phi_{X_i}(u)|_{u=0}(\prod_{j\neq i}\phi_{X_j}(0))\\ & = & iE(X_i^3)(\prod_{j\neq i}1))\\ & = & iE(X_i^3)\end{array}$$
چون به ازای هر i این جمله در جمع این مشتق سوم وجود دارد پس تا اینجا
$$\sum_{i=1}^n(iE(X_i^3))=i\sum_{i=1}^nE(X_i^3)$$
را تولید کرده‌ایم، کافیست ببینیم که سایر جمله‌ها صفر می‌شوند و اینجا است که از صفر بودن امیدهای این متغیرها کمک خواهیم گرفت.
نیاز نیست وارد جزئیات بشویم و همین اینکه در آنها مشتق یکم وجود دارد یعنی امید تکی و وجود یک صفر در یک ضرب برای صفر کردن آن جمله کافیست. با این حال جملهٔ دوم را نیز می‌آوریم تا مطمئن شویم که خواننده منظورمان را کامل فهمیده‌است.
$$\begin{array}{l}((\frac{\partial^2}{\partial u^2}\phi_{X_i}(u))(\frac{\partial}{\partial u}\phi_{X_j}(u))(\prod_{k\neq i,j}\phi_{X_k}(u)))|_{u=0}=\\ (\frac{\partial^2}{\partial u^2}\phi_{X_i}(u)|_{u=0})(\frac{\partial}{\partial u}\phi_{X_j}(u)|_{u=0})(\prod_{k\neq i,j}\phi_{X_k}(0))=\\ (-iE(X_i^2))(-iE(X_j))\prod_{k\neq i,j}1)=iE(X_i^2)(0)(1)=0\end{array}$$
به همین شکل جمله‌های نوع سوم نیز صفر می‌شوند.
در نتیجه ثابت کردیم که
$$iE((\sum_{i=1}^nX_i)^3) =i\sum_{i=1}^nE(X_i^3)$$
که حکم را نتیجه می‌دهد.
