$ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(x\sqrt[n]{ \frac{x+a}{x+b}}-x\right) = ? $

Question

حاصل حد زیر چیست ؟ با راه حل! خیلی ممنون

$$ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left(x\sqrt[n]{ \frac{x+a}{x+b}}-x\right) = ? $$

Answer 1

توجه : در خط دوم راه حل از قاعده هوپیتال استفاده شده است . $$\begin{align}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left(x\sqrt[n]{ \frac{x+a}{x+b}}-x\right) &= lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{\sqrt[n]{\frac{x+a}{x+b}}-1}{\frac{1}{x}}\\ &=lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{(\frac{b-a}{(x+b)^2})(\frac{1}{n\sqrt[n]{(\frac{x+a}{x+b})^{n-1}}})}{-\frac{1}{x^2}}\\ &=lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{(\frac{b-a}{x^2})(\frac{1}{n\sqrt[n]{(\frac{x+a}{x+b})^{n-1}}})}{-\frac{1}{x^2}}\\ &=lim_{x\rightarrow +\infty }(a-b) (\frac{1}{n\sqrt[n]{(\frac{x+a}{x+b})^{n-1}}})\\ &= lim_{x\rightarrow +\infty } (a-b) (\frac{1}{n\sqrt[n]{1^{n-1}}})\\ &=\frac{a-b}{n} \end{align} $$