به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
24,993 بازدید
در دبیرستان توسط Khashayar
ویرایش شده توسط کیوان عباس زاده

سلام... چند وقت پیش که داشتم فرمول های محاسبۀ مجموع را دوره می کردم، یاد ایندو فرمول افتادم. سعی کردم برای خودم اثباتشان کنم ولی چیزی به ذهنم نرسید.

اگر امکانش هست لطفا اثبات ایندو فرمول را ارسال کنید. $$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ متشکرم...

توسط
ویرایش شده توسط admin
سلام
با استقرای ساده روی n از درستی k به k+1 میرسیم و حکم ثابت می شود.(تمرین کتاب جبر سوم دبیرستان، فصل 1)

2 پاسخ

+5 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده
انتخاب شده توسط Khashayar
 
بهترین پاسخ

ابتدا نشان می دهیم : $$1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$$ راه اول : با استفاده از اتحاد چوشی - چی اثبات می کنیم .

اتحاد چوشی - چی : اگر $n,k$ دو عدد طبیعی باشند آنگاه داریم : $$ \binom{k}{k} +\binom{k+1}{k}+...+ \binom{n}{k}= \binom{n+1}{k+1} $$ حال قرار دهید $k=1$ داریم : $$ \binom{1}{1} +\binom{1+1}{1}+...+ \binom{n}{1}= \binom{n+1}{1+1}$$ $$ \Rightarrow \binom{1}{1} +\binom{2}{1}+...+ \binom{n}{1}= \binom{n+1}{2}$$ $$ \Rightarrow 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$ راه دوم :

فرض کنید $S=1+2+...+n$ داریم : $$S=1+2+...+(n-1)+n$$ $$S=n+(n-1)+...+2+1$$ $$ \Rightarrow 2S=(1+n)+(2+(n-1))+...+((n-1)+2)+(n+1)$$ $$ \Rightarrow 2S=(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)$$ $$ \Rightarrow 2S=n(n+1)$$ $$\Rightarrow S=\frac{n(n+1)}{2}$$ راه سوم :

مستطیل $n \times (n+1)$ را در نظر بگیرید و آنرا به مربع های واحد افراز کنید سپس مطابق شکل زیر آنرا به دو قسمت مساوی تقسیم کرده و مربع های یک قسمت را زرد و قسمت دیگر را قرمز کنید : enter image description here

تعداد کل مربع های داخل مستطیل $n \times (n+1)$ برابر $n(n+1)$ است . حال فرض کنید $S_{1}$ تعداد مربع های زرد و $S_{2}$ تعداد مربع های قرمز است در این صورت $ S_{1}= S_{2}$ و همچنین داریم $ S_{1}+ S_{2}=n(n+1) $ . پس : $$ 2S_{1}=n(n+1)$$ $$ \Rightarrow S_{1}=\frac{n(n+1)}{2}$$ از طرفی طبق شکل بالا تعداد مربع های زرد برابر است با : $$S_{1}=1+2+...+n$$ پس $ 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2} $ .

حال نشان می دهیم : $$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

با استفاده از اتحاد چوشی - چی ثابت می کنیم . در اتحاد چوشی - چی قرار دهید $k=2 $ داریم : $$\binom{2}{2} +\binom{2+1}{2}+...+ \binom{n}{2}= \binom{n+1}{2+1}$$ $$ \Rightarrow \binom{2}{2} +\binom{3}{2}+...+ \binom{n}{2}= \binom{n+1}{3}$$ $$ \Rightarrow \sum_{i=2}^{n} \binom{i}{2} =\binom{n+1}{3}$$ $$\Rightarrow \sum_{i=2}^{n} \frac{i(i-1)}{2} =\frac{(n+1)n(n-1)}{6}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} i(i-1)=\frac{(n+1)n(n-1)}{6}$$ $$ \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} i^2 - \sum_{i=1}^{n} i =\frac{(n+1)n(n-1)}{12}\ \ \ \star $$ از طرفی در بالا ثابت کردیم $ \sum_{i=1}^{n} i=\frac{n(n+1)}{2} $ پس با جاگذاری در $ \star $ داریم : $$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} i^2 - \frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)n(n-1)}{12}$$

$$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} i^2 =\frac{(n+1)n(n-1)}{12}-\frac{n(n+1)}{2}$$ $$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n} i^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ حال در اتحاد چوشی - چی قرار دهید $k=3$ و با استدلالی مشابه استدلال بالا ثابت می شود : $$1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$ و اما اثبات اتحاد چوشی - چی :

طبق اتحاد پاسکال می دانیم :

اگر $i,k$ دو عدد طبیعی باشند آنگاه : $$ \binom{i+1}{k+1} = \binom{i}{k} + \binom{i}{k+1} $$ $$\Rightarrow \binom{i}{k}=\binom{i+1}{k+1}-\binom{i}{k+1}$$ پس : $$ \sum_{i=k}^n \binom{i}{k}=\sum_{i=k}^n (\binom{i+1}{k+1}-\binom{i}{k+1}) $$ حال طبق قاعده ادغام ( تلسکوپی )داریم : $$ \sum_{i=k}^n \binom{i}{k} = \binom{n+1}{k+1} - \binom{k}{k+1} $$ $$\Rightarrow \sum_{i=k}^n \binom{i}{k} = \binom{n+1}{k+1}$$

توسط Khashayar
+1
متشکرم از شما
توسط Khashayar
+1
سلام...
ببخشید من یک چیزی رو یادم رفت بپرسم.
این ادغام تلسکوپی چطوری انجام شده و چه جوری به رابطۀ نهایی رسیدیم؟
لطفا راه حل خودتان را برایم ارسال کنید. حد الامکان کامل و ساده باشد.

ممنون
+1 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده
ویرایش شده توسط fardina

تعریف کنید : $$A= \lbrace (x,y)\ |\ x,y\in \lbrace 1,2,...,n+1\rbrace\ ,\ x< y\rbrace $$ واضح است که تعداد اعضای مجموعه $A$ برابر است با تعداد زیرمجموعه های $2$ عضوی مجموعه $ \lbrace 1,2,...,n+1\rbrace $ که برابر $ \binom{n+1}{2} $ است پس : $$|A|= \binom{n+1}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\ \ \ \ \ \ \ (1)$$ از طرفی اگر به ازای هر $k\in \lbrace 1,2,...,n\rbrace $ تعریف کنیم : $$A_{k}= \lbrace (y,k+1)\ |\ y< k+1\ ,\ y\in \lbrace 1,2,...,n+1\rbrace \rbrace $$ واضح است که داریم $A =\bigcup_{k=1}^n A_{k} $ و $ A_{k} $ ها دو به دو از هم جدا هستند پس : $$|A|= \sum_{k=1}^n |A_{k}| $$ با توجه به تعریف $ A_{k} $ داریم $|A_{k}|=k$ پس: $$|A|= \sum_{k=1}^n k\ \ \ \ \ \ \ \ (2) $$ حال از $(1)$ و $(2)$ نتیجه می شود : $$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$ برای اثبات فرمول $1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ مجموعه زیر را تعریف کنید و مشابه استدلال بالا تعداد اعضای $B$ را به دو طریق بشمارید : $$B= \lbrace (x,y,z)\ |\ x,y,z\in \lbrace 1,2,...,n+1\rbrace\ ,\ x< y\ , \ x< z \rbrace $$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...