Question

تعریف حد:

$$ \lim_{x \rightarrow a}f(x) =l$$

فرض کنیم تابع $f$روی یک همسایگی بدون مرکز نقطه $a$تعریف شده باشد .عددی مانند$l$را حد تابع $f$در نقطه $a$ گوییم, اگر برای هر $ \epsilon >0$عدد مثبتی مانند$ \delta $(وابسته به $ \epsilon $) وجود داشته باشد به طوریکه:

$$0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-l|< \epsilon $$

من چند تا سوال دارم از این تعریف :

1)چرا ما برعکس میگوییم. یعنی اینکه چرا نمیگوییم:

اگر برای هر $ \delta >0$عدد مثبتی مانند $ \epsilon $وجود داشته باشد.

$$0< |x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-l|< \epsilon $$

2)چرا $ \delta $ وابسته به $ \epsilon $ است و اینطوری می نویسند$ \delta =F( \epsilon )$

Answer 1

در مورد سوال اول چون مقادیر تابع یعنی $f(x)$ به $L$ نزدیک می شوند یعنی ما هر چقدر بخواهیم می توانیم مقادیر تابع را به $L$ نزدیک کنیم به شرطی که به اندازه کافی به $a$ نزدیک شده باشیم.

در مورد سوال دوم برای هر $\epsilon$ یک $\delta$ باید یافت شود که این دلتا در حالت کلی هم به $a$ و هم به $\epsilon$ وابسته است.

به عنوان مثال $f(x)=x^2$ را در نظر بگیرید می دانیم که در $x=0$ پیوسته است. به ازای $\epsilon=0.01$ چنانچه $0< \delta< 0.1$ در نظر بگیریم به ازای $x$هایی که $0< |x-0|< \delta$ داریم $|x^2-0|=x^2< 0.01$

حال آنکه چنانچه $\epsilon=0.0001$ در نظر بگیریم در اینصورت باید $0< \delta< 0.01$ در نظر بگیریم.

یعنی دلتا $\delta$ با تغییر اپسیلون $\epsilon$ تغییر میکند پس $\delta$ وابسته به $\epsilon$ است.

از طرفی چنانچه پیوستگی را در $x=1$ بررسی کنیم به ازای $\epsilon =0.01$ چنانچه قرار دهیم $\delta< 0.001$ در اینصورت $0< |x-1|< \delta=0.003$ آنگاه $ |x^2-1|< \epsilon=0.01 $

یعنی وقتی برای $a=0$ قرار دادیم $\epsilon=0.01$ در اینصورت باید $\delta< 0.01$ می گرفتیم اما وقی $a=1$ به ازای همین مقدار $\epsilon=0.01$ باید قرار دهیم $\delta< 0.003$ . که این نشان می دهد دلتا وابسته به $a$ نیز هست.

چنانچه $\delta$ فقط به $\epsilon$ وابسته باشد گوییم پیوستگی یکنواخت است.