به نظر من آقای فردینا خوب پاسخ داده بودند. مجموعهٔ مرجع یک مفهوم نسبی است و کاملا به بحث و موقعیت مسأله مرتبط است. همانگونه که در پیوند یاد شده در پرسشتان اشاره شدهاست «مجموعهٔ همهٔ مجموعهها» وجود ندارد بنابراین نمیتوانی یک مجموعه نام برد که همهٔ مجموعههای هستی را در بر داشته باشد، زیرا که مجموعهها خود نیز اشیائی در این هستی هستند. اما چه اِشکالی دارد که مجموعهٔ کل دانشآموزان یک مدرسه را وقتی مسأله در مورد دانشآموزان آن مدرسه است به عنوان مجموعهٔ مرجع گرفت. در فیزیک یا علوم دیگر نیز به این بحثها بر میخورید، برای نمونه در فیزیک میگوئید هر دو ماده در هستی بر یکدیگر نیرو و اثر دارند ولی وقتی در یک مسأله پیرامون یک سیب که به درخت آویزان است حرف میزنید آیا در هنگام برآیند گیری نیروها، نیرو و اثر سیارهٔ عطارد بر این سیب را هم مد نظر میگیرید؟ همیشه در یک مسأله یا بحث شما با یک گردایه از اشیاء کار دارید و نیازی به در نظر گرفتن همهٔ هستی ندارید (البته توانایی آن را نیز ندارید) و این گردایهٔ مرجع شما از مسأله به مسأله تغییر میکند! در مسألهٔ پرتاب یک موشک گردایهٔ اشیاء شما با گردایهٔ اشیاء مسألهٔ سیب متفاوت است. اکنون پرسشهایتان به ترتیب.
۱و۲- یک نکته در پرسش شما مهم است و آن اینکه شما تصور دارید که مجموعهٔ مرجع نسبت به یک مجموعه انتخاب میشود ولی اینگونه نیست. مجموعهٔ مرجع برای یک یا چندین مجموعه و یا گردایهای از اشیاء در یک بحث تعریف میشود. پس اینطور نیست که اگر در یک مسأله ۳ مجموعه میبینید باید ۳ مجموعهٔ مرجع نیز داشته باشید. مجموعهٔ مرجع کاملا به بحث وابسته است و مجموعهای است که یک سری اشیاء را به عنوان عضو داشته باشد و یک سری مجموعه را به عنوان زیرمجموعه که هدف بحث را پیش ببرد. پس از اینکه مجموعههای مرجعِ مورد نیاز مسأله را تعریف کردید آنگاه مجموعههایی که با آنها کار میکنید اگر زیرمجموعهٔ یکی از آنها باشد به آن نسبت داده میشود. مسألهٔ زیر را در نظر بگیرید «در یک کلاس ۲۰ دانشآموز داریم. ۱۳ دانشآموز به غیر از فارسی ترکی نیز صحبت میکنند. ۱۱ دانشآموز به غیر از فارسی، عربی نیز صحبت میکنند. ۵ دانشآموز هم عربی و هم ترکی صحبت میکنند. چند دانشآموز تنها فارسی میدانند؟» در اینجا شما این مجموعهها را تعریف میکنید مجموعهٔ دانشآموزانی که فارسی و ترکی صحبت میکنند، A، مجموعهٔ دانشآموزانی که فارسی و عربی صحبت میکنند، B، مجموعهٔ دانشآموزانی که فارسی و ترکی و عربی صحبت میکنند، C، مجموعهٔ دانشآموزانی که تنها فارسی صحبت میکنند، D. اینجا به نظر شما چه مجموعهای مرجع است؟ تنها اشیائی که مورد مطالعه دارید دانشآموزان این کلاس هستند و به کار شما میآیند پس مجموعهٔ مرجع را مجموعهٔ کل دانشآموزان این کلاس میگیرید، U. سپس از روش معمول برای حل مسأله استفاده میکنید. در اینجا کاربرد U این است که متمم مجموعههای A تا D نسبت به آن تعریف میشوند.
اگر هیچ مسألهای ندارید و هیچ بحثی نیست شما هر چه میخواهید به عنوان مجموعهٔ مرجع بردارید که مجموعههایتان را به عنوان زیرمجموعه داشته باشد.
۳- مسألهٔ یادشده در قسمت یک را در نظر بگیرید، اگر مجموعهٔ مرجع را برای هر مجموعه خودش بگیریم آن وقت مسأله را میتوانید حل کنید؟ ما برای حل آن از اینکه D متمم $A\cup B$ است استفاده میکنید اما اگر متمم $A\cup B$ را نسبت به خودش حساب کنیم حاصل، مجموعهٔ تهی میشود و میگوئید که پاسخ مسأله این است که هیچ دانشآموزی در آن کلاس نیست که تنها فارسی حرف بزند در حالیکه پاسخ درست، یک نفر است نه صفر نفر! ولی در عین حال در آن مسأله متمم U تهی است زیرا که کاری به هیچ شیای به غیر از دانشآموزان آن کلاس نداریم پس متمم U هیچ عضوی ندارد. در عین حال ممکن است یک مسأله با دو نوع گردایهٔ مجزا کار کند که در شمردن، متممها را نسبت به دو مجموعهٔ مرجع جدا محاسبه کنیم پس حتی در یک مسأله برای دو هدف متفاوت ممکن است دو مجموعهٔ مرجع مجزا داشته باشید.
۴- متمم مجموعهٔ مرجع نسبت به خودش تهی است و در نمودار ون با هیچی نمایشش دهید. کل مستطیل نمایندهٔ مجموعهٔ مرجع است و هیچی از آن مستطیل نشان دهندهٔ تهی است.
