انتخاب سه زیرمجموعه ی $A_1$، $A_2$ و $A_3$که $A_1\cap A_2\cap A_3=\emptyset$ ؟

Question

به چند روش می توان از یک مجموعه ی ده عضوی به ترتیب، سه زیرمجموعه ی $A_1$، $A_2$ و $A_3$ را انتخاب کرد به طوریکه $A_1\cap A_2\cap A_3=\emptyset$ ؟($A_i$ ها لزوما متمایز نیستند)

Answer 1

مجموعه مادر را $A$ در نظر میگیریم که $10$ عضو دارد

نمودار ون را برای $3$ زیر مجموعه از $A$ رسم میکنیم که دارای $8$ ناحیه جدا از هم است که در واقع افراز به 8 ناحیه می باشد

شرط مسئله این است که عضوها در هر کجا میتوانند حضور داشته باشند بغیر از یک جا که اشتراک هر سه مجموعه می باشد پس با این شرط یک ناحیه حذف و افراز به $7$ قسمت جدا از هم صورت میگیرد

پس اگر تمام حالات ممکن را بررسی کنیم هر یک از $10$ عضو $7$ محل برای حضور داشتن دارند که فقط در یکی جا میگیرند پس کل حالت ها برابر است با:

برای عضو اول $7$ جا و عضو دوم $7$ جا و...

و معادل ریاضی جمله بالا برابر است با

$$7^{10}$$