سه عدد از این اعداد را انتخاب کرد که مجموعشان برابر صفر شود

Question

از مجموعه‌ی$\{-2n+1.......2n-1\}$ ، $2n+1$ عددانتخاب شده است. ثابت کنید می‌توان سه عدد از این اعداد را انتخاب کرد که مجموعشان برابر صفر شود.

Comments

خواهشا چند دفعه هم بتون گفتن که از امکانات تایپ استفاده کنید اگر هم تایپ بلد نیستی سعی کنید عکس بگیرید و آنرا بگذارید.

---

سلام من امروز اومدم تا وقتي كه تايپ رو در اينجا ياد بگيرم...از شما و ديگرا ن معذرت ميخوام..
سوال رو تو ورد گذاشتم..ميتونيد ببينيد wahedmohammadi@

---

@saderi7
همین ریاضی که نوشتی رو اگر اول دکمه ی "ریاضی" رو میزدی یا ctrl و m میزدی بعد بین دو علامت دلار مینوشتید حالا یه فرمول قشنگ میدیدیم. همون چیزی رو که دارید مینویسید رو فقط توی علامت دلار بنویسید.

Answer 1

حکم را به استقرا ثابت می کنیم:

واضح است که حکم برای $n=1$ درست است.

فرض کنیم برای $A=\{0,\pm 1, \pm 2,...., \pm(2n-1)\}$ حکم درست باشد یعنی اگر $2n+1$ تا انتخاب کنیم جمع سه تای آنها صفر است.

ثابت می کنیم برای $B=\{0,\pm 1,\pm 2,...,\pm (2n-1),\pm (2n),\pm (2n+1)\}=A\cup B'$ که $B'=\{\pm (2n),\pm (2n+1)\}$درست است. یعنی اگر $2n+3$ ت انتخاب کنیم جمع سه تای آنها برابر صفر است.

• (حالت اول)اگر مجموعه ی $2n+3$ تایی که انتخاب می کنیم حداکثر شامل دو عضو از مجموعه $B'$ باشد در اینصورت چون $2n+1$ تای باقیمانده از مجموعه ی $A$ انتخاب می شوند پس طبق فرض جمع سه تای آنها برابر صفر است.
• (حالت دوم)اگر مجموعه ی $2n+3$ تایی که انتخاب می کنیم شامل دقیقا سه عضو از مجموعه ی $B'$ باشد در اینصورت چند حالت داریم:
  • (زیرحالت اول)این سه عضو $\pm (2n), 2n+1$ باشند : در اینصورت چنانچه صفر هم عضوی از این مجموعه باشد که انتخاب می کنیم آنگاه سه عضو برابرند با $0,\pm (2n)$ و اگر $-1$ عضوی از مجموعه ی انتخابی باشد در این صورت سه عضو برابر $-1,2n,2n+1$ هستند. در غیر اینصورت $2n$ عضو باقیمانده باید از $1,\pm 2,\pm 3,...,\pm (2n-1)$ انتخاب شوند که بعد از حذف $n$ می توان به صورت $\{2n-2\}$جفت $$\{1,2n-1\}, \{2,2n-2\},...,\{n-1,n+1\},\{-2,-2n+1\},\{-3,-2n+2\},...,\{-n,-n-1\}$$ نوشت در اینصورت اگر این جفت ها را به همراه $\{n\}$ در نظر بگیرید آنگاه بنابر اصل لانه کبوتری چون باید از $2n-1$ مجموعه $2n$ تا انتخاب کنیم دو عدد به یکی از این جفت ها متعلق باشد. چون مجموع این جفت ها یا برابر $2n$ است یا $-2n-1$ پس ما می توانیم $2n$ یا $2n+1$ را اضافه کنیم تا مجموع صفر شود.
  • (زیرحالت دوم)این سه عضو $\pm (2n), -2n-1$ باشند: در اینصورت همانند حالت قبلی می توان استدلال کرد.
  • (زیرحالت سوم)این سه عضو $2n,\pm (2n+1)$ باشند: در اینصورت چنانچه صفر هم عضوی از این مجموعه باشد که انتخاب می کنیم آنگاه سه عضو برابرند با $0,\pm (2n+1)$ و اگر $1$ عضوی از مجموعه ی انتخابی باشد در اینصورت سه عضو برابر $-(2n+1), 2n,1$ هستند. در غیر اینصورت $2n$ عضو باقیمانده باید از $-1, \pm 2,\pm 3,..., \pm (2n-1)$ انتخاب شوند که بعد از حذف $-n$ به $2n-2$ جفت $$\{2, 2n-1\},\{3,2n-2\},...,\{n,n+1\},\{-1,-2n+1\},\{-2,-2n+2\},...,\{-n+1,-n-1\}$$ نوشت در اینصورت اگر این جفت ها را به همراه $-n$ در نظر بگیریم بنابر اصل لانه کبوتری دو عدد انتخابی به یک جفت تعلق دارند و چون جمع هر دو جفت برابر $2n+1$ یا$-2n$ است لذا می توانیم $2n$ یا $-2n-1$ را اضافه کنیم تا جمع هر سه تای آنها صفر شود.
  • (زیرحالت چهارم)این سه عضو برابر $(-2n),\pm(2n+1)$ باشند همانند حالت قبل استدلال کنید.
• (حالت سوم)اگر مجموعه ی $2n+3$ تایی که انتخاب می کنیم شامل $B'=\{\pm (2n),\pm(2n+1)\}$ باشد: چنانچه $0$ هم عضو انتخابی باشد به همراه $\pm 2n$ سه عضو میشوند که حاصل جمعشان برابر صفر است. اگر $1$ عضو انتخابی باشد در اینصورت سه عضو مطلوب برابر $1,2n,-2n-1$ هستند. و اگر $-1$ عضو انتخابی باشد سه عضو مطلوب برابر $-1,-2n,2n+1$ هستند. در غیر اینصورت $2n-1$ عضو باقیمانده را باید در بین $\pm 2,\pm 3,...,\pm (2n-1)$ انتخاب کنیم که می توانیم به $2n-2$ جفت $$\{ 2,2n-1\},\{3,2n-2\},...,\{n, n+1\},\{-2,-2n+1\},\{-3,-2n+2\},...,\{-n,-n-1\}$$ تقسیم کنیم. در اینصورت بنابر اصل لانه کبوتری دو تا عدد به یکی از این جفت ها تعلق دارد. اما چون مجموع هر دو عدد در این جفت ها برابر $2n+1$ یا $-2n-1$ است می توانیم عدد سوم را $2n+1$ یا $-2-1$ انتخاب کنیم.

و به این ترتیب حکم ثابت است.(مرجع)

Comments

fardina@
جوابت زمانی درسته که بدونیم صفر جزو انتخابی ها است اگر نباشه باید ثابت کنیم 3 عدد $a,b,c$ موجودند که$a+b+c=0$
یعنی دوتاشون هم علامت هستند و مجموعشون برابر قرینه ی عدد دیگر است.

---

@erfanm
ممنون. کاملا درست میگید. توجه نکرده بودم. اجازه بدید ویرایشش کنم.