حکم را به استقرا ثابت می کنیم:
واضح است که حکم برای $n=1$ درست است.
فرض کنیم برای $A=\{0,\pm 1, \pm 2,...., \pm(2n-1)\}$ حکم درست باشد یعنی اگر $2n+1$ تا انتخاب کنیم جمع سه تای آنها صفر است.
ثابت می کنیم برای $B=\{0,\pm 1,\pm 2,...,\pm (2n-1),\pm (2n),\pm (2n+1)\}=A\cup B'$ که
$B'=\{\pm (2n),\pm (2n+1)\}$درست است. یعنی اگر $2n+3$ ت انتخاب کنیم جمع سه تای آنها برابر صفر است.
- (حالت اول)اگر مجموعه ی $2n+3$ تایی که انتخاب می کنیم حداکثر شامل دو عضو از مجموعه $B'$ باشد در اینصورت چون $2n+1$ تای باقیمانده از مجموعه ی $A$ انتخاب می شوند پس طبق فرض جمع سه تای آنها برابر صفر است.
- (حالت دوم)اگر مجموعه ی $2n+3$ تایی که انتخاب می کنیم شامل دقیقا سه عضو از مجموعه ی $B'$ باشد در اینصورت چند حالت داریم:
- (زیرحالت اول)این سه عضو $\pm (2n), 2n+1$ باشند : در اینصورت چنانچه صفر هم عضوی از این مجموعه باشد که انتخاب می کنیم آنگاه سه عضو برابرند با $0,\pm (2n)$ و اگر $-1$ عضوی از مجموعه ی انتخابی باشد در این صورت سه عضو برابر $-1,2n,2n+1$ هستند. در غیر اینصورت $2n$ عضو باقیمانده باید از $1,\pm 2,\pm 3,...,\pm (2n-1)$ انتخاب شوند که بعد از حذف $n$ می توان به صورت $\{2n-2\}$جفت $$\{1,2n-1\}, \{2,2n-2\},...,\{n-1,n+1\},\{-2,-2n+1\},\{-3,-2n+2\},...,\{-n,-n-1\}$$ نوشت در اینصورت اگر این جفت ها را به همراه $\{n\}$ در نظر بگیرید آنگاه بنابر اصل لانه کبوتری چون باید از $2n-1$ مجموعه $2n$ تا انتخاب کنیم دو عدد به یکی از این جفت ها متعلق باشد. چون مجموع این جفت ها یا برابر $2n$ است یا $-2n-1$ پس ما می توانیم $2n$ یا $2n+1$ را اضافه کنیم تا مجموع صفر شود.
- (زیرحالت دوم)این سه عضو $\pm (2n), -2n-1$ باشند: در اینصورت همانند حالت قبلی می توان استدلال کرد.
- (زیرحالت سوم)این سه عضو $2n,\pm (2n+1)$ باشند: در اینصورت چنانچه صفر هم عضوی از این مجموعه باشد که انتخاب می کنیم آنگاه سه عضو برابرند با $0,\pm (2n+1)$ و اگر $1$ عضوی از مجموعه ی انتخابی باشد در اینصورت سه عضو برابر $-(2n+1), 2n,1$ هستند. در غیر اینصورت $2n$ عضو باقیمانده باید از $-1, \pm 2,\pm 3,..., \pm (2n-1)$ انتخاب شوند که بعد از حذف $-n$ به $2n-2$ جفت $$\{2, 2n-1\},\{3,2n-2\},...,\{n,n+1\},\{-1,-2n+1\},\{-2,-2n+2\},...,\{-n+1,-n-1\} $$ نوشت در اینصورت اگر این جفت ها را به همراه $-n$ در نظر بگیریم بنابر اصل لانه کبوتری دو عدد انتخابی به یک جفت تعلق دارند و چون جمع هر دو جفت برابر $2n+1$ یا$-2n$ است لذا می توانیم $2n$ یا $-2n-1$ را اضافه کنیم تا جمع هر سه تای آنها صفر شود.
- (زیرحالت چهارم)این سه عضو برابر $(-2n),\pm(2n+1)$ باشند همانند حالت قبل استدلال کنید.
- (حالت سوم)اگر مجموعه ی $2n+3$ تایی که انتخاب می کنیم شامل $B'=\{\pm (2n),\pm(2n+1)\}$ باشد: چنانچه $0$ هم عضو انتخابی باشد به همراه $\pm 2n$ سه عضو میشوند که حاصل جمعشان برابر صفر است. اگر $1$ عضو انتخابی باشد در اینصورت سه عضو مطلوب برابر $1,2n,-2n-1$ هستند. و اگر $-1$ عضو انتخابی باشد سه عضو مطلوب برابر $-1,-2n,2n+1$ هستند. در غیر اینصورت $2n-1$ عضو باقیمانده را باید در بین $\pm 2,\pm 3,...,\pm (2n-1)$ انتخاب کنیم که می توانیم به $2n-2$ جفت $$\{ 2,2n-1\},\{3,2n-2\},...,\{n, n+1\},\{-2,-2n+1\},\{-3,-2n+2\},...,\{-n,-n-1\}$$ تقسیم کنیم. در اینصورت بنابر اصل لانه کبوتری دو تا عدد به یکی از این جفت ها تعلق دارد. اما چون مجموع هر دو عدد در این جفت ها برابر $2n+1$ یا $-2n-1$ است می توانیم عدد سوم را $2n+1$ یا $-2-1$ انتخاب کنیم.
و به این ترتیب حکم ثابت است.(مرجع)
