به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
3,484 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20

مجموعه مرجع چيست ؟

و ايا هر مجموعه مجموعه ي مرجعي داريد؟

آيا خود مجموعه مرجع ,مجموعه ي مرجع دارد؟

توسط پارسا
آیا مجموعه ی مرجع متمم دارد ... اگر دارد ما چگونه میتوانیم متممش را با نمودار ون نمایش بدیم
توسط fardina
@پارسا
اگر شوالی دارید باید در قسمت "پرسش سوال" بپرسید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

گاهی اوقات ممکن است به عنوان مثال فقط در مورد اعداد حقیقی بحث کنیم که در اینصورت مجموعه مرجع را اعداد حقیقی در نظر میگیریم. یا مثلا ممکن است ما دانش آموزان یک مدرسه را مورد مطالعه قرار دهیم که در اینصورت مجموعه مرجع ما برابر دانش آموزان آن مدرسه است. ممکن است شما را به عنوان دانشجوی یک دانشگاه خاص در نظر بگیریم که در اینصورت مجموعه مرجع ما برابر دانشجویان آن دانشگاه است ولی اگر شما را به عنوان یک دانشجو در استان شما در نظر بگیریم در اینصورت مجموعه مرجع برابر تمام دانشجویان استان شماست. و به همین ترتیب اگر شما را به عنوان یک دانشجو در ایران در نظر بگیریم در اینصورت مجموعه مرجع برابر است با تمام دانشجویان ایران. یا مثلا یک تابع پیوسته $f:\mathbb R\to \mathbb R$ را می توان عضوی از مجموعه تمام توابع پیوسته روی اعداد حقیقی در نظر گرفت که در اینصورت مجموعه مرجع ما تمام توابع حقیقی پیوسته خواهد شد.

مجموعه مرجع (Universal Set) یا مجموعه جهانی به مجموعه ای گفته می شود که در برگیرنده تمام اشیا ازجمله خودش است. البته در نظریه مجموعه وجود چنین مجموعه ای(مجموعه مرجع) به تناقض می انجامد که به پارادوکس راسل معروف است.

پارادوکس راسل را این چنین بیان می کنیم:

لم 1. فرض کنید $\mathcal U$ مجموعه تمام مجموعه ها وجود دارد. فرض کنید $ R=\lbrace S\in \mathcal U: S\notin S \rbrace$ آنگاه $R\notin R$

اثبات: (برهان خلف) فرض کنیم $R\in R$ . در اینصورت بنابر تعریف مجموعه $R$ باید $R\notin R$ که تناقض است. لذا باید $R\in R$ .

لم2. فرض کنید $\mathcal U$ مجموعه تمام مجموعه ها وجود دارد. فرض کنید $ R=\lbrace S\in \mathcal U: S\notin S \rbrace$ آنگاه $R\in R$

اثبات: (برهان خلف) فرض کنید $R\notin R$ چون $R\in\mathcal U$ لذا از تعریف $R$ باید $R\in R$. که تناقض است لذا باید $R\in R$ .

قضیه: مجموعه تمام مجموعه ها وجود ندارد.

اثبات: از دو لم بالا نتیجه می شود. چون وجود مجموعه همه مجموعه ها به تناقض $R\in R$ و $R\notin R$ منجر می شود.

پس باید دقت کنید که در ریاضیات وقتی بحثی از مجموعه مرجع شد باید ببینید در آن متن کتاب مجموعه مرجع را چه چیزی عنوان کرده و در مورد چه چیزهایی بحث می شود(مانند مثال هایی که در ابتدا بیان شد). اینطور نیست که منظور از مجموعه مرجع مجموعه ای شامل همه مجموعه ها باشد چون همانطور که اشاره شد وجود چنین مجموعه ای به تناقض می انجامد.

مراجع:

Set Theory with Applications نوشته Lin و Lin

https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_set

توسط amirm20
@fardina
ميتونيم اينطوري بگوييم؟ :
مجموعه مرجع هر مجموعه مانند$A$ مجموعه ايي است مانند $M$
به طوري كه داشته باشيم
$A \subset M$
توسط fardina
@amirm20
البته بستگی به متنی دارد که شما مطالعه میکنید. وقتی در مورد یک دانش آموز بحث میکنید ممکن است کسی مجموعه مرجع را مجموعه ی دانش آموزان مدرسه ای در نظر بگیرید که آن دانش آموز در آن درس میخواند و کسی دیگر مجموعه مرجع را مجموعه کل دانش آموزان ایران در نظر بگیرد. که این در متنی که در حال مطالعه هستید باید دقیقا مشخص شده باشد.
توسط amirm20
@fardina
ممنون
فقط ي سوال :
ايا ميتونيم بگوييم هر مجموعه مجموعه مرجع خودش است ؟

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...