اگر $A= \emptyset $ آن گاه با توجه به این که $ \emptyset ^{n}= \emptyset $ پس $ \lambda\colon \emptyset \rightarrow \emptyset $ تابعی خالی از اعضای دامنه و برد است پس عضوی وجود ندارد که عمل $\lambda$ بر آن صورت گیرد. پس $ A $ را غیر تهی در نظر می گیرند. تنها چیزی که باقی می ماند این است که ثابت کنیم برای هر مجموعه دلخواه مثل $X$ ، $ \emptyset \times X= \emptyset $ که در این صورت نتیجه می گیریم:
$$ \emptyset ^{n}= \emptyset \times \emptyset ^{n-1} = \emptyset $$
اثبات: فرض می کنیم $ \emptyset \times X$ غیر تهی است پس $x,y$ وجود دارند به طوری که $ (x,y) \in \emptyset \times X $ پس $x \in \emptyset $ که تناقض است بنابراین مجموعه $ \emptyset \times X$ نمی تواند غیر تهی باشد پس تهی است.
