قطع کردن عدد

Question

Answer 1

در اینجا من راه حلی دارم که البته مطمئنا سطحش بالاتر از مقطع تحصیلی شماست .

نکته :

اگر $x$ عدد اعشاری مثبت باشد تقریب کمتر از یک آن همان جزصحیح $x$ است یعنی همان $[x]$ .

حال فرض کنید $x,y$ دو عدد اعشاری هستند و آنها را با تقریب کمتر از یک قطع می کنیم پس طبق نکته بالا $[x],[y]$ را در نظر میگیریم . حال این دو عدد را در هم ضرب می کنیم و حاصل 1600 است : $$[x].[y] = 1600$$ برای بار دیگر ابتدا دو عدد $x,y$ را در هم ضرب می کنیم و سپس با تقریب کمتر از یک قطع می کنیم یعنی ابتدا $x.y$ را حساب می کنیم . فرض کنید $p_{x}$ قسمت اعشاری عدد $x$ و $p_{y}$ قسمت اعشاری عدد $y$ است . پس : $$ x=[x]+p_{x} \ \ \ \ \ 0 \leq p_{x} < 1 $$

$$ y=[y]+p_{y}\ \ \ \ \ 0 \leq p_{y} < 1 $$

حال چون $ p_{x} < 1 $ و $ p_{y} < 1 $ پس داریم : $$\begin{align}x.y&=([x]+p_{x}).([y]+p_{y})\\ &=[x].[y]+[x].p_{y}+[y].p_{x}+p_{x}.p_{y}\\ &< [x].[y]+[x]+[y]+1\\ &=1600+[x]+[y]+1\\ &=1601+[x]+[y]\\ \end{align} $$

اما داریم $ [y]=\frac{1600}{[x]} $ . با جاگذاری در بالا خواهیم داشت : $$ x.y < 1601+[x]+\frac{1600}{[x]} $$ حال تعریف می کنیم : $$f(x)=x+\frac{1600}{x}$$ حال ماکسیمم تابع $f$ را برای $1 \leq x \leq 1600$ می یابیم . مشتق تابع را حساب می کنیم : $$ f' (x)=1-\frac{1600}{x^2}=0$$ $$ \Rightarrow x=40$$ $$ \Rightarrow f(40)=80$$ حال مقدار تابع را در ابتدا و انتهای بازه می یابیم : $$f(1)=1601\ \ ,\ \ f(1600)=1601$$ پس ماکسیمم تابع $f$ برابر $1601$ است . بنابراین از آنجا که $1 \leq [x] \leq 1600$ پس داریم : $$[x]+\frac{1600}{[x]} \leq 1601$$ $$\begin{align} \Rightarrow x.y& < 1601+[x]+\frac{1600}{[x]}\\ & \leq 1601+1601\\ &=3202\\ \end{align} $$ پس حاصل ضرب دو عدد اکیدا کمتر از $3202$ است . پس : $$[x.y]< 3202$$ یعنی اگر قسمت اعشار $x.y$ را کنار بگذاریم عدد حاصل اکیدا کمتر از $3202$ است . از طرفی چون $0 \leq p_{x}$ و $0 \leq p_{y}$ پس : $$x.y \geq [x].[y]=1600$$ پس مقدار $x.y$ حداقل $1600$ است پس اگر قسمت اعشار آن را کنار بگذاریم حدقل $1600$ است . بنابراین فقط گزینه $1$ می تواند درست باشد .

Comments

باسلام.من خودم برای دانش آموزانم اینجوری حل کردم.
1600/999999999999999999999999999999999999999999999999999 رو عدد اول در نظر گرفتم.
1/9999999999999999999999999999999999999999999 هم رو عدد دوم در نظر گرفتم که ضربشون میشه :3201/9999999999999999999999999999999999999999 که قطع کنیم میشه 3201.