در اینجا من راه حلی دارم که البته مطمئنا سطحش بالاتر از مقطع تحصیلی شماست .
نکته :
اگر $x$ عدد اعشاری مثبت باشد تقریب کمتر از یک آن همان جزصحیح $x$ است یعنی همان $[x]$ .
حال فرض کنید $x,y$ دو عدد اعشاری هستند و آنها را با تقریب کمتر از یک قطع می کنیم پس طبق نکته بالا $[x],[y]$ را در نظر میگیریم . حال این دو عدد را در هم ضرب می کنیم و حاصل 1600 است :
$$[x].[y] = 1600$$
برای بار دیگر ابتدا دو عدد $x,y$ را در هم ضرب می کنیم و سپس با تقریب کمتر از یک قطع می کنیم یعنی ابتدا $x.y$ را حساب می کنیم . فرض کنید $p_{x}$ قسمت اعشاری عدد $x$ و $p_{y}$ قسمت اعشاری عدد $y$ است . پس :
$$ x=[x]+p_{x} \ \ \ \ \ 0 \leq p_{x} < 1 $$
$$ y=[y]+p_{y}\ \ \ \ \ 0 \leq p_{y} < 1 $$
حال چون $ p_{x} < 1 $ و $ p_{y} < 1 $ پس داریم :
$$\begin{align}x.y&=([x]+p_{x}).([y]+p_{y})\\
&=[x].[y]+[x].p_{y}+[y].p_{x}+p_{x}.p_{y}\\
&<[x].[y]+[x]+[y]+1\\
&=1600+[x]+[y]+1\\
&=1601+[x]+[y]\\
\end{align} $$
اما داریم $ [y]=\frac{1600}{[x]} $ . با جاگذاری در بالا خواهیم داشت :
$$ x.y < 1601+[x]+\frac{1600}{[x]} $$
حال تعریف می کنیم :
$$f(x)=x+\frac{1600}{x}$$
حال ماکسیمم تابع $f$ را برای $1 \leq x \leq 1600$ می یابیم . مشتق تابع را حساب می کنیم :
$$ f' (x)=1-\frac{1600}{x^2}=0$$
$$ \Rightarrow x=40$$
$$ \Rightarrow f(40)=80$$
حال مقدار تابع را در ابتدا و انتهای بازه می یابیم :
$$f(1)=1601\ \ ,\ \ f(1600)=1601$$
پس ماکسیمم تابع $f$ برابر $1601$ است . بنابراین از آنجا که $1 \leq [x] \leq 1600$ پس داریم :
$$[x]+\frac{1600}{[x]} \leq 1601$$
$$\begin{align} \Rightarrow x.y& < 1601+[x]+\frac{1600}{[x]}\\
& \leq 1601+1601\\
&=3202\\
\end{align} $$
پس حاصل ضرب دو عدد اکیدا کمتر از $3202$ است . پس :
$$[x.y]<3202$$
یعنی اگر قسمت اعشار $x.y$ را کنار بگذاریم عدد حاصل اکیدا کمتر از $3202$ است . از طرفی چون $0 \leq p_{x}$ و $0 \leq p_{y}$ پس :
$$x.y \geq [x].[y]=1600$$
پس مقدار $x.y$ حداقل $1600$ است پس اگر قسمت اعشار آن را کنار بگذاریم حدقل $1600$ است . بنابراین فقط گزینه $1$ می تواند درست باشد .
