به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
331 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

میدانیم مجموعه $ E $ پوچ نام دارد اگر

الف) $ E $ اندازه پذیر باشد

ب) $ \mu (E)=0 $

حال اگر $ E$ پوچ و $ N \subset E $ آیا $N $ هم پوچ است؟ مثال برنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

خیر. زیرمجموعه ی هر مجموعه پوچ یک مجموعه ی پوچ نیست.

در واقع مشکل اصلی اینجاس که اگر $\mu(E)=0 $ و $N\subset E $ نمی توان نتیجه گرفت $ N $ هم اندازه پذیر است. برای مثال اندازه صفر( یعنی اندازه هر مجموعه ای برابر صفر شود) روی سیگماجبر $ \mathcal M=\{\emptyset, X\} $ رو مجموعه $ X=\{1,2\}$ را در نظر بگیرید. در اینصورت $\mu(X)=0 $ در حالیکه $ \{1\}\notin \mathcal M $ .

دارای دیدگاه توسط
+1
با سلام یه مشکل در فهم موضوع داشتم
آیا (با مثالی که زدید  X زیرمجموعه M به شمار می اید ) درست است؟
اندازه X و  اندازه M را چطور میشه حساب کرد؟
اینکه {1} در M نیست باعث چه میشود؟
دارای دیدگاه توسط
$\mathcal M$ دو تا عضو دارد یکی $\emptyset$ و دیگری $X$ که در آن $X=\{1,2\}$.
اینکه $\{ 1\}$ در $\mathcal M$ نیست پس اندازه پذیر نیست و لذا اندازه ی آن هم تعریف نمی شود.
فکر کنم بهتره یک بار دیگه تعریف ها رو برای خودتون مرور کنید.
دارای دیدگاه توسط
+1
((طبق تعریف اگر M یک سیگماجبر باشد-که در این مثال هست-، به اعضای M مجموعه های اندازه پذیر میگویند)) درسته؟
((خب اندازه تهی که مساوی صفر اندازه X هم چون شماراست مساوی صفر)) درسته؟
حالا اینکه {1} در M نیست چرا M اندازه پذیر نمیشه متوجه نمیشم؟
دارای دیدگاه توسط
اگر $(X,\mathcal M, \mu)$ یک فضای اندازه باشد در اینصورت $\mu$ روی اعضای $\mathcal M$ تعریف میشه. وگرنه خود $\mathcal M$ مجموعه ای از زیرمجموعه های $X$ است. $\mu$ که روی $\mathcal M$ تعریف نشده بلکه روی اعضای آن تعریف می شود. اصلا کی گفته $\mathcal M$اندازه پذیره یا نه. ما در مورد $\{ 1\}$ که اندازه ناپذیره(چون عضوی از $\mathcal M$ نیست) حرف میزنیم.
جریان اون مثال نقض هم از این قراره که فضای اندازه ما $(X,\mathcal M,\mu)$ عبارت است از $X=\{1,2\}$ و $\mathcal M=\{\emptyset, X\}$ و$\mu=0$ تابع صفر است. یعنی $\mu(\emptyset)=0$ و $\mu(X)=0$. توجه کنید که اندازه $X$ صفر می شود چون $\mu$ تابع صفر است و هیچ ربطی به شمارایی ندارد.
حالا اگر قرار باشه $\mu$ کامل باشه باید هر زیرمجموعه $X$ اندازه پذیر بشه. در حالیکه $\{1\}$ زیر مجموعه $X$ هست درحالیکه اندازه پذیر نیست چون در $\mathcal M$ نیست. توجه کنید که $\{1\}$ اندازه پذیر نیست و اصلا ما به مجموعه ای اندازه پذیر میگیم که در $\mathcal M$ باشد.
اینکه میگید $\mathcal M$ اندازه پذیر هست یا نیست نشون میده که تعریف سیگماجبر رو درست نگرفتید. چون ما هر زیرمجموعه ای از $X$ که در $\mathcal M$ باشد رو اندازه پذیر و اگر نباشد رو اندازه ناپذیر میگیم.
دارای دیدگاه توسط
+1
بسیار بسیار تشکر میکنم از راهنمایی عالیتون.کاملا متوجه شدم. انشالله همیشه سلامت و موفق باشید.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...