اگر $(X,\mathcal M, \mu)$ یک فضای اندازه باشد در اینصورت $\mu$ روی اعضای $\mathcal M$ تعریف میشه. وگرنه خود $\mathcal M$ مجموعه ای از زیرمجموعه های $X$ است. $\mu$ که روی $\mathcal M$ تعریف نشده بلکه روی اعضای آن تعریف می شود. اصلا کی گفته $\mathcal M$اندازه پذیره یا نه. ما در مورد $\{ 1\}$ که اندازه ناپذیره(چون عضوی از $\mathcal M$ نیست) حرف میزنیم.
جریان اون مثال نقض هم از این قراره که فضای اندازه ما $(X,\mathcal M,\mu)$ عبارت است از $X=\{1,2\}$ و $\mathcal M=\{\emptyset, X\}$ و$\mu=0$ تابع صفر است. یعنی $\mu(\emptyset)=0$ و $\mu(X)=0$. توجه کنید که اندازه $X$ صفر می شود چون $\mu$ تابع صفر است و هیچ ربطی به شمارایی ندارد.
حالا اگر قرار باشه $\mu$ کامل باشه باید هر زیرمجموعه $X$ اندازه پذیر بشه. در حالیکه $\{1\}$ زیر مجموعه $X$ هست درحالیکه اندازه پذیر نیست چون در $\mathcal M$ نیست. توجه کنید که $\{1\}$ اندازه پذیر نیست و اصلا ما به مجموعه ای اندازه پذیر میگیم که در $\mathcal M$ باشد.
اینکه میگید $\mathcal M$ اندازه پذیر هست یا نیست نشون میده که تعریف سیگماجبر رو درست نگرفتید. چون ما هر زیرمجموعه ای از $X$ که در $\mathcal M$ باشد رو اندازه پذیر و اگر نباشد رو اندازه ناپذیر میگیم.
