به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
506 بازدید
در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط fardina

میدانیم مجموعه $ E $ پوچ نام دارد اگر

الف) $ E $ اندازه پذیر باشد

ب) $ \mu (E)=0 $

حال اگر $ E$ پوچ و $ N \subset E $ آیا $N $ هم پوچ است؟ مثال برنید.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط fardina

خیر. زیرمجموعه ی هر مجموعه پوچ یک مجموعه ی پوچ نیست.

در واقع مشکل اصلی اینجاس که اگر $\mu(E)=0 $ و $N\subset E $ نمی توان نتیجه گرفت $ N $ هم اندازه پذیر است. برای مثال اندازه صفر( یعنی اندازه هر مجموعه ای برابر صفر شود) روی سیگماجبر $ \mathcal M=\{\emptyset, X\} $ رو مجموعه $ X=\{1,2\}$ را در نظر بگیرید. در اینصورت $\mu(X)=0 $ در حالیکه $ \{1\}\notin \mathcal M $ .

توسط yosef.sobhi
+2
واقعا دستتان درد نکنه این مطلب برای من جالب بود در این مورد اشکال داشتم که با این مثال حل شد مرسی
توسط
لطف میکنید بیشتر توضیح بدید راه حل تونو متوجه نمیشم
توسط erfanm
+1
اگر مجموعه ای اندازه پذیر باشه واندازش صفر باشه هر زیر مجموعه ی اندازه پذیر که زیر مجموعه ی آن باشد هم از اندازه ی صفر است.
اما نکته سوال اینه که ممکنه زیر مجموعه ای وجود داشته باشه که اندازه پذیر نباشه تا اندازش صفرباشه
این هم یک مثال برای همین موضوعه چون ما اندازه رو روی $M$ تعریف کردیم ولی مجموعه ی $\lbrace 1\rbrace$ در $M$ نیست تا اندازه پذیر باشه
توسط
+1
با سلام یه مشکل در فهم موضوع داشتم
آیا (با مثالی که زدید  X زیرمجموعه M به شمار می اید ) درست است؟
اندازه X و  اندازه M را چطور میشه حساب کرد؟
اینکه {1} در M نیست باعث چه میشود؟
توسط fardina
$\mathcal M$ دو تا عضو دارد یکی $\emptyset$ و دیگری $X$ که در آن $X=\{1,2\}$.
اینکه $\{ 1\}$ در $\mathcal M$ نیست پس اندازه پذیر نیست و لذا اندازه ی آن هم تعریف نمی شود.
فکر کنم بهتره یک بار دیگه تعریف ها رو برای خودتون مرور کنید.
توسط
+1
((طبق تعریف اگر M یک سیگماجبر باشد-که در این مثال هست-، به اعضای M مجموعه های اندازه پذیر میگویند)) درسته؟
((خب اندازه تهی که مساوی صفر اندازه X هم چون شماراست مساوی صفر)) درسته؟
حالا اینکه {1} در M نیست چرا M اندازه پذیر نمیشه متوجه نمیشم؟
توسط fardina
اگر $(X,\mathcal M, \mu)$ یک فضای اندازه باشد در اینصورت $\mu$ روی اعضای $\mathcal M$ تعریف میشه. وگرنه خود $\mathcal M$ مجموعه ای از زیرمجموعه های $X$ است. $\mu$ که روی $\mathcal M$ تعریف نشده بلکه روی اعضای آن تعریف می شود. اصلا کی گفته $\mathcal M$اندازه پذیره یا نه. ما در مورد $\{ 1\}$ که اندازه ناپذیره(چون عضوی از $\mathcal M$ نیست) حرف میزنیم.
جریان اون مثال نقض هم از این قراره که فضای اندازه ما $(X,\mathcal M,\mu)$ عبارت است از $X=\{1,2\}$ و $\mathcal M=\{\emptyset, X\}$ و$\mu=0$ تابع صفر است. یعنی $\mu(\emptyset)=0$ و $\mu(X)=0$. توجه کنید که اندازه $X$ صفر می شود چون $\mu$ تابع صفر است و هیچ ربطی به شمارایی ندارد.
حالا اگر قرار باشه $\mu$ کامل باشه باید هر زیرمجموعه $X$ اندازه پذیر بشه. در حالیکه $\{1\}$ زیر مجموعه $X$ هست درحالیکه اندازه پذیر نیست چون در $\mathcal M$ نیست. توجه کنید که $\{1\}$ اندازه پذیر نیست و اصلا ما به مجموعه ای اندازه پذیر میگیم که در $\mathcal M$ باشد.
اینکه میگید $\mathcal M$ اندازه پذیر هست یا نیست نشون میده که تعریف سیگماجبر رو درست نگرفتید. چون ما هر زیرمجموعه ای از $X$ که در $\mathcal M$ باشد رو اندازه پذیر و اگر نباشد رو اندازه ناپذیر میگیم.
توسط
+1
بسیار بسیار تشکر میکنم از راهنمایی عالیتون.کاملا متوجه شدم. انشالله همیشه سلامت و موفق باشید.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...