نکته $1$ : اگر $G$ یک گروه متناهی و $H$ زیرگروه آن باشد آنگاه تعداد کلاس های هم ارزی $H$ در $G$ برابر است با :
$$[G : H]=\frac{|G|}{|H|}=|\frac{G}{H}|$$
که در بالا منظور از $ \frac{G}{H} $ گروه خارج قسمتی است .
نکته $2$ : اگر $G$ گروه متناهی و $H,K$ زیر گروه $G$ باشند آنگاه داریم :
$$\frac{G \times G}{H \times K} \cong \frac{G}{H} \times \frac{G}{K}$$
که در بالا علامت $ \cong $ نشانه ی یکریختی گروه هاست . حال طبق نکته ی $1$ تعداد کلاس های هم ارزی $H \times K$ در $G \times G$ برابر است با $|\frac{G \times G}{H \times K}|$ . از طرفی طبق نکته $2$ داریم $ \frac{G \times G}{H \times K} \cong \frac{G}{H} \times \frac{G}{K} $ پس :
$$ |\frac{G \times G}{H \times K}|=|\frac{G}{H} \times \frac{G}{K}|=|\frac{G}{H}| \times |\frac{G}{K}|=[G : H][G : K] $$ .
