به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
157 بازدید
در دانشگاه توسط MK90
ویرایش شده توسط MK90

اگر H و K گروه های متناهی باشند نشان دهید تعداد کلاس های $H \times K$ برابر ضرب تعداد کلاس های H در K است.

توسط MK90
@AmirHosein
لطفا راهنمایی کنید.   با تشکر

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

نکته $1$ : اگر $G$ یک گروه متناهی و $H$ زیرگروه آن باشد آنگاه تعداد کلاس های هم ارزی $H$ در $G$ برابر است با : $$[G : H]=\frac{|G|}{|H|}=|\frac{G}{H}|$$ که در بالا منظور از $ \frac{G}{H} $ گروه خارج قسمتی است .

نکته $2$ : اگر $G$ گروه متناهی و $H,K$ زیر گروه $G$ باشند آنگاه داریم : $$\frac{G \times G}{H \times K} \cong \frac{G}{H} \times \frac{G}{K}$$ که در بالا علامت $ \cong $ نشانه ی یکریختی گروه هاست . حال طبق نکته ی $1$ تعداد کلاس های هم ارزی $H \times K$ در $G \times G$ برابر است با $|\frac{G \times G}{H \times K}|$ . از طرفی طبق نکته $2$ داریم $ \frac{G \times G}{H \times K} \cong \frac{G}{H} \times \frac{G}{K} $ پس : $$ |\frac{G \times G}{H \times K}|=|\frac{G}{H} \times \frac{G}{K}|=|\frac{G}{H}| \times |\frac{G}{K}|=[G : H][G : K] $$ .

توسط MK90
@ کیوان عباس زاده
در مورد کلاس های تزویجی نیز پاسخ درست است؟؟؟

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...