فرض کنیم که $ M $ یک $R $ مدول مدرج متناهی المولد باشد تابع عددی $H(M.-):Z \longrightarrow Z $ با تعریف $ i \longrightarrow H(M.i) =dim_K M_i$را تابع هیلبرت $ M$ می نامیم.
به عنوان مثال قرار دهید $M=S=K[x_1, \ldots , x_n] $آنگاه $H(S.i) $ برابر بعد $ i $ مین مولفه ی مدرج $ S$ یعنی $ S_i $ است.
که بعد $S_i $ برابر تعداد مونومیال های از درجه ی $i $ در $S$ است. که برابر است با ${n+i-1\choose{i}}$
$S_0=K$پس $dim_K (S_0)=1 $ پس $H(S,0)=1 $
$S_1$ توسط $ x_1, \ldots , x_n $ تولید میشود پس
$ dim_K (S_1)=n$ پس $H(S,1)=n $
$S_2$ توسط $ {x_1}^2, \ldots , x_1x_n , \ldots ,{x_n}^2 $ تولید میشود پس
$ dim_K (S_2)={n+1\choose{2}}$ پس $H(S,2)= \frac{n(n+1)}{2} $
