ابعاد مستطیل را $ x $ و $ y $ و $ z $ میگیریم
روش لاگرانژ:
می خواهیم اکسترمم تابع $f(x,y,z)=xy+2xz+2zy$ را بر رویه $ S $ به معادله ی $ g(x,y,z)=xyz-A=0 $ بیابیم
$$xyz=A $$
$$ \bigtriangledown f= \lambda \bigtriangledown g$$
$ \bigtriangledown f=(y+2z,x+2z,2x+2y)$ و $ \bigtriangledown g=(yz,xz,xy) $
پس داریم:
$$y+2z= \lambda yz $$
$$x+2z= \lambda xz $$
$$2x+2y= \lambda xy $$
اگر $ \lambda =0$ آنگاه $2z=-y=-x$ همچنین از رابطه ی آخر $x=-y$ بدست می آید لذا $x=y=z=0$ را داریم که در رابطه ی $xyz=A $ صدق نمی کند.
فرض کنید که $ \lambda \neq 0$
رابطه ی اول را در $x $ و رابطه ی دوم را در $ y $ ضرب می کنیم داریم:
$$yx+2zx= \lambda yzx $$
$$xy+2zy= \lambda xzy $$
با مقایسه دو رابطه داریم: $ 2zx=2zy $ چون $z \neq 0$(چرا؟) پس $x=y$ و با جایگذاری در آخرین رابطه $4= \lambda x$ حال با جایگذاری در دومین رابطه داریم:$z= \frac{x}{ \lambda x-2} = \frac{x}{2} $
حال از رابطه ی $xyz=A $ نتیجه می شود که $ \frac{ x^{3} }{2} =A$ پس $x= \sqrt[3]{2A} $
روش سریع: از تغییر متغییر $2z=u$ استفاده می کنیم تا معادله نسبت به متغییر ها متقارن شود لذا $x=y=u=\sqrt[3]{2A} $ بدست می آید.
