به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
3,256 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Reza.S (862 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser

عدد گنگی را بیابید که اگر به‌توان خودش برسد، حاصل گویا شود.

ویرایشگر: تلاشی از سوی پرسشگر نوشته نشده‌است.

2 پاسخ

+6 امتیاز
توسط kazomano (2,561 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

ثابت می‌کنیم که چنین عددی وجود داره.

معادلهٔ $ a^{a}=2 $ را در نظر می‌گیریم. به دلیل پیوستگی تابع $ a^{a} $ این معادله یک جواب یکتا دارد. نشان می‌دهیم a باید گنگ باشد. به برهان خلف فرض کنیم a گویا باشد. یعنی $a= \frac{p}{q} $ که $(p,q)=1$ داریم $ ( \frac{p}{q} )^{ \frac{p}{q} } =2 \rightarrow p^{p} = q^{p} 2^{q} $
از این نتیجه میشه که $q>1$ و در نتیجه $2 \mid p^{p} $ چون 2 عددی اول است پس $2 \mid p$ پس در نتیجه $2 \mid q$ ولی این تناقضه چون $p$ و $q$ نسبت به هم اولند. پس ناچارا $a$ عددی گنگ است.

توسط AmirHosein (19,630 امتیاز)
+1
@kazomano البته به دلیل پیوستگی به تنهایی نمی‌شود پاسخ یکتا داشتن را نتیجه گرفت، برای نمونه اگر به جای ۲ عددی بین ۰ و ۱ برمی‌داشتید دو پاسخ به جای یک پاسخِ یکتا می‌داد.
توسط amir7788 (2,972 امتیاز)
+1
وجود عدد ثابت شد اما عددی با خاصیت مورد نظر معرفی نشد
توسط AmirHosein (19,630 امتیاز)
+1
@amir7788 هر عددی را نمی‌توان با تعداد متناهی رقم نمایش داد. برای نمونه عدد $\pi$ یا عدد $\sqrt{2}$ را چگونه معرفی می‌کنید؟ تنها چیزی که برای معرفی یک عدد نیاز دارید این است که به طور یکتا بتوان آن را از چیزی که به عنوان معرفی یا تعریفش می‌گوئید مشخص کرد. در اینجا هم یک معادله داده‌شده‌است که یک پاسخِ حقیقیِ یکتا دارد. بنابراین معرفی شده‌است. اگر به تقریب این عدد علاقه‌دارید آنگاه می‌توانید از روش‌های عددیِ حل معادله‌ها استفاده کنید.
توسط AmirHosein (19,630 امتیاز)
+1
@kazomano البته در خط آخر از اینکه $2\mid p$ به $2\mid q$ رسیدید نیاز به دلیل دارد. برای نمونه اگر فرض $a>1$ را می‌گذاشتید آنگاه $p>q$ و در نتیجه از اینکه $2\mid p$ پس در سمت چپ برابری تعداد ۲ ها بیشتر از تعداد ۲ ها در $2^q$ در سمت راست است، پس باید مقداری ۲ در $q^p$ هم باشد که $2\mid q$ را نتیجه می‌دهد.
+4 امتیاز
توسط Taha1381 (1,789 امتیاز)

$A=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$

$B=\sqrt{2}$

$A^B=\sqrt{2}^2=2$

توسط erfanm (13,866 امتیاز)
+2
تو سوال گفته شده باید به توان خودش برسه
توسط Taha1381 (1,789 امتیاز)
+1
بله درسته من اشتباه کردم حالا چه طور جوابو حذف کنم؟
توسط erfanm (13,866 امتیاز)
+2
لطفا بگذارید جوابتان بمونه
جواب جالبه برای اینکه نشان داده بشه گنگ به توان گنگ لزوما گنگ نیست.
اگر خواستید سوالی رو حذف کنید میتوانید از گزینه ی مخفی کردن(پنهان کردن ) جواب استفاده کنید
که زیر پاسخ داده شده قرار داره (در همان ردیف که ویرایش سوال قرار دارد)

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...