Question

عدد گنگی را بیابید که اگر به‌توان خودش برسد، حاصل گویا شود.

ویرایشگر: تلاشی از سوی پرسشگر نوشته نشده‌است.

Answer 1

ثابت می‌کنیم که چنین عددی وجود داره.

معادلهٔ $ a^{a}=2 $ را در نظر می‌گیریم. به دلیل پیوستگی تابع $ a^{a} $ این معادله یک جواب یکتا دارد. نشان می‌دهیم a باید گنگ باشد. به برهان خلف فرض کنیم a گویا باشد. یعنی $a= \frac{p}{q} $ که $(p,q)=1$ داریم $ ( \frac{p}{q} )^{ \frac{p}{q} } =2 \rightarrow p^{p} = q^{p} 2^{q} $
از این نتیجه میشه که $q>1$ و در نتیجه $2 \mid p^{p} $ چون 2 عددی اول است پس $2 \mid p$ پس در نتیجه $2 \mid q$ ولی این تناقضه چون $p$ و $q$ نسبت به هم اولند. پس ناچارا $a$ عددی گنگ است.

Comments

@kazomano البته به دلیل پیوستگی به تنهایی نمی‌شود پاسخ یکتا داشتن را نتیجه گرفت، برای نمونه اگر به جای ۲ عددی بین ۰ و ۱ برمی‌داشتید دو پاسخ به جای یک پاسخِ یکتا می‌داد.

---

وجود عدد ثابت شد اما عددی با خاصیت مورد نظر معرفی نشد

---

@amir7788 هر عددی را نمی‌توان با تعداد متناهی رقم نمایش داد. برای نمونه عدد $\pi$ یا عدد $\sqrt{2}$ را چگونه معرفی می‌کنید؟ تنها چیزی که برای معرفی یک عدد نیاز دارید این است که به طور یکتا بتوان آن را از چیزی که به عنوان معرفی یا تعریفش می‌گوئید مشخص کرد. در اینجا هم یک معادله داده‌شده‌است که یک پاسخِ حقیقیِ یکتا دارد. بنابراین معرفی شده‌است. اگر به تقریب این عدد علاقه‌دارید آنگاه می‌توانید از روش‌های عددیِ حل معادله‌ها استفاده کنید.

---

@kazomano البته در خط آخر از اینکه $2\mid p$ به $2\mid q$ رسیدید نیاز به دلیل دارد. برای نمونه اگر فرض $a>1$ را می‌گذاشتید آنگاه $p>q$ و در نتیجه از اینکه $2\mid p$ پس در سمت چپ برابری تعداد ۲ ها بیشتر از تعداد ۲ ها در $2^q$ در سمت راست است، پس باید مقداری ۲ در $q^p$ هم باشد که $2\mid q$ را نتیجه می‌دهد.

Answer 2

$A=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$

$B=\sqrt{2}$

$A^B=\sqrt{2}^2=2$

Comments

تو سوال گفته شده باید به توان خودش برسه

---

بله درسته من اشتباه کردم حالا چه طور جوابو حذف کنم؟

---

لطفا بگذارید جوابتان بمونه
جواب جالبه برای اینکه نشان داده بشه گنگ به توان گنگ لزوما گنگ نیست.
اگر خواستید سوالی رو حذف کنید میتوانید از گزینه ی مخفی کردن(پنهان کردن ) جواب استفاده کنید
که زیر پاسخ داده شده قرار داره (در همان ردیف که ویرایش سوال قرار دارد)