نویسندههای مقاله ادعا نکردهاند که $\frac{1}{x}$ عضوی از این حلقه است! بلکه اگر در تعریف پرایمها در صفحهٔ ۲۷۷۰ دقت کنید میبینید که شرطهای شمرده شدن (عادشدن) برخی عنصرها بوسیلهٔ $x_1$ قید شدهاست. اگر یک چندجملهای عامل $x_1$ داشتهباشد شما برای نمایش دادن آن چندجملهای پس از فاکتور گرفتن $x_1$ و حذف این عامل و تنها در نظر گرفتن باقی آن، از چه نمادی ترجیح میدهید استفاده کنید؟ مسلما هیچ نمادی از $\frac{p}{x_1}$ آشناتر و کارآمدتر نمیباشد مگر اینکه بخواهید زیادهنویسی کنید و چندین خط صرف گفتن جملاتی همچون «بفرض $p=x_1.p'$» کنید و سپس بجای $\frac{p}{x_1}$ از $p'$ استفاده کنید، بجز فضای بیشتر گرفتن، زیادشدن تعداد نمادهایتان نیز یک علت دیگر است که خیلی از نوسندگان از این ایده استفاده نمیکنند. در نظریهٔ اعداد نیز همینگونه است، کسی ادعا نمیکند که $\frac{1}{2}$ عددی صحیح است ولی مشکلی با نوشتن $\frac{n!}{2}$ برای n مخالف یک، ندارد. در واقع در ریاضی شما میتوانید خیلی اعمال را در ساختارهای بالاتر انجام دهید ولی هنوز حاصل در ساختار اصلی بماند. در نتیجه، نویسندگان مقاله اشتباه نکردهاند ولی در عین حال اصلا ادعایی مبنی بر $\frac{1}{x_1}$ عضوی از $k[x_1,\cdots,x_n]$ نیز ندارند و از چنین ادعاهایی استفاده نکردهاند.
پاسخ نهایی پرسش شما این است که بدون نیاز به مدرج بودن یا نبودن حلقهتان، منظور از $\frac{p}{x_1}$ در صورتیکه بدانیم $p$ عامل $x_1$ دارد، چندجملهای خارج قسمت در تقسیم $p$ بر $x_1$ است.
