برای هر $x \in R $ مجموعه $E\cap B(x,r_x)$ اندازه پذیر باشد $E$ نیز اندازه پذیر است.

Question

فرض کنید $E$ زیر مجموعه ای از اعداد حقیقی بوده که برای هر $x \in R $ ،عدد حقیقی مثبت $r$ موجود است که $B(x,r) \cap E $ اندازه پذیر لبگ است . ثابت کنید $E$ اندازه پذیر لبگ است .

Comments

میشه سوالتونو ویرایش کنید و بگید منظورتون از $X$ بزرگ و $x$کوچک و $S_r(x)$ چیه؟

---

$S_r(x)$چیه؟

Answer 1

واضح است که $ E\subset \bigcup_{x\in E}B(x, r_x) $ که $r_x $ همان شعاع متناظر با
$ x $ است که یافت می شود. در اینصورت بنابرقضیه پوششی لیندلف یا لم لیندلف یک زیر پوششی شمارا از $B(x,r_x) $ مانند $ B(x_i,r_{x_i })$ وجود دارید، یعنی $E\subset \bigcup_1^\infty B(x_i, r_{x_i}) $ و چون $ E=\bigcup_1^\infty (B(x_i,r_{x_i})\cap E) $ یعنی $E $ اشتراک شمارایی از زیرمجموعه های اندازه پذیر است. که می دانیم اندازه پذیر می شود.