عبارت جبری

Question

اگر a و b و c اعداد نابرابر باشند ثابت کنید عبارت زیر ناصفر است : $ (a-b)^5 + (b-c)^5 + (c-a)^5$

Comments

http://math.stackexchange.com/questions/1885701/if-a-and-b-and-c-are-unequal-prove-the-following-statement-is-not-equal-to

Answer 1

$$x=b−a ; y=c−b, (x+y)^5−(x^5+y^5)=(x+y)(x^4+y^4+4x^3y+4y^3x+6x^2y^2−x^4−y^4−x^2y^2+x^3y+y^3x)=$$

$$(‌​x+y)(5x^2y^2+5x^3y+5y^3x)=(x+y)(5xy)(xy+x^2+y^2)=$$

$$5/2(c−a)(b−a)(c−b)[(a−b)^2+(b−c)‌^​2+(a−c)^2]$$

Answer 2

سلام برای صفر شده عبارت بالا نیازه هر کدام از عبارت های زیر صفر باشند :

$(a−b)^5و(b−c)^5و(c−a)^5 $

برای صفر شدن هر سه عبارت باید شرط زیر برقرار باشد :

a=b=c

اما چون در فزض مسئله گفته سه عدد نابرابرند پس عبارت هیچ وقت صفر نمیشود

Comments

اگه توان مثبت باشه هر3 باید صفر بشن مثلا اینجا میشه مجموع 2 پرانتز اول قرینه پرانتز سوم باشه