در یک $R$-مدول $M$، یک دنبالهٔ ${a_1,\cdots,a_n}$ را می‌گوئیم منظم است اگر برای هر $1\leq i\leq n$ هیچ عنصر ناصفری در مدول خارج‌قسمتی $\dfrac{M}{\langle a_1\cdots,a_{i-1}\rangle M}$ (در حالت $i=1$، قرار دهید $\langle a_1,\cdots,a_0\rangle={0}$ ) یافت نشود که حاصلضرب $a_i$ در آن صفر این مدولی خارج‌قسمتی شود. به یاد آورید که برای یک ایده‌آل $I$ از $R$ زیرمدول $IM$ برابر بود با
$$\{r_1m_1+\cdots+r_nm_n|n\in\mathbb{N},\forall 1\leq i\leq n\;:\;r_i\in I,m_i\in M\}$$
اکنون به سراغ پرسش کنونی برویم. توجه کنید که می‌گوئیم دنبالهٔ منظم! دنباله دارای ترتیب برای عناصرش است! پس اگر جای عنصری در آن عوض شود یک دنبالهٔ دیگر داریم.
نخست ثابت می‌کنیم که بر خلاف آنچه در صورت پرسش آمده‌است، دنبالهٔ $\{x,y(1-x),z(1-x)\}$ در حلقهٔ $R=k[x,y,z]$ که روی خودش یک مدول نیز است، دنباله‌ای منظم است.
روشن است که ضرب $x$ در هیچ عضو ناصفری از $\dfrac{k[x,y,z]}{{0}}\cong k[x,y,z]$ صفر نمی‌شود پس تا اینجا مشکلی نیست.
اکنون توجه کنید که برای یک ایده‌آل $I$ از حلقهٔ $R$ داریم $IR=I$.
گام پسین: $\dfrac{k[x,y,z]}{\langle x\rangle}\cong k[y,z]$، در واقع هر عنصر ناصفر این حلقهٔ خارج قسمتی ردهٔ هم‌ارزی است از چندجمله‌ای‌ها که در آن رده می‌توان نماینده‌ای فاقد متغیر $x$ یافت. فرض کنیم $f$ یک چندجمله‌ای فاقد $x$ باشد. $y(1-x)f=yf-xyf$ که $(yf-xyf)+\langle x\rangle=yf+\langle x\rangle$ چون $xyf\in\langle x\rangle$ و $yf$ خالی از $x$ است پس ساده‌تر شدنی نیست و در ضمن اگر $f$ ناصفر باشد، $yf$ نیز ناصفر خواهدبود. پس تا یانجا نیز مشکلی نیست.
گام پایانی:
$$\langle x,y(1-x)\rangle=\langle x,y-xy\rangle=\langle x,y\rangle$$
پس با حلقهٔ خارج‌قسمتی $\dfrac{k[x,y,z]}{\langle x,y\rangle}\cong k[z]$ سر و کار داریم. $f$ را چندجمله‌ای خالی از $x$ و $y$ بردارید. $z(1-x)f=zf-xzf$ و به $zf$ ساده می‌شود که اگر $f$ ناصفر باشد، $zf$ نیز ناصفر است. پس تا پایان مشکلی پیش نیامد و در نتیجه $\{x,y(1-x),z(1-x)\}$ دنباله‌ای منظم است. با روش یکسان و بنا به تقارن $\{x,z(1-x),y(1-x)\}$ نیز دنباله‌ای منظم است.
اما توجه کنید که $\{y(1-x),z(1-x),x\}$ دنباله‌ای منظم نیست. گام نخست مشکلی ندارد ولی در گام دوم توجه کنید که $y$ عنصری ناصفر در $\dfrac{k[x,y,z]}{\langle y(1-x)\rangle}$ است چون به ایده‌آل $\langle y(1-x)\rangle$ تعلق ندارد. ولی دست برقضا $z(1-x).y=y(1-x).z\in\langle y(1-x)\rangle$ پس حاصلضرب آن در $z(1-x)$ در این حلقهٔ خارج‌قسمتی صفر می‌شود!
