ژرفا (عمق depth) تنها برای حلقههای نوتری موضعی تعریف میشود. اگر $k$ میدان بستهٔ جبری نباشد، حلقهٔ خارجقسمتیای که معرفی کردهاید الزاما موضعی نمیشود. پس من میدان ضرایب را در اینجا بستهٔ جبری فرض میکنم.
توجه کنید که $depth(R)\leq\dim R$ چون بعد کرول حلقه یک است پس ژرفا یا یک است یا صفر. اکنون به یاد آورید که ژرفای یک حلقهٔ موضعی برابر با درجهٔ (grade) ایدهآل بیشینه میبود. درجهٔ یک ایدهآل نیز درازای (طول) بزرگترین $R$-دنباله در ایدهآل بود. چون $\{x\}$ یا $\{y\}$، $R$-دنباله در ایدهآل بیشینهمان یعنی $\dfrac{\langle x,y\rangle}{\langle (xy)^n\rangle}$ هستند پس باید ژرفا بزرگتر یا مساوی یک باشد. در نتیجه اینکه ژرفای حلقهٔ موضعیمان دقیقا یک است را ثابت کردیم.
