قسمت اعشاری عدد

Question

$n$ عددی طبیعی است ثابت کنید قسمت اعشاری $ \sqrt{4n^2+n} $ کمتر از $\frac{1}{4}$ است.

Answer 1

بدیهی است که قسمت صحیح ان برابر است با $2n$ چون:

$2n<\sqrt{4n^2+n}<2n+1$

حال می بینیم زمانی که قسمت اعشاری $\frac{1}{4}$باشدعدد به کدام شکل است به شکل:

$2n+\frac{1}{4}=\sqrt{4n^2+n+\frac{1}{16}}$

که بدیهی است چون $n$عددی طبیعی است:

$\sqrt{4n^2+n}<\sqrt{4n^2+n+\frac{1}{16}}$

پس نتیجه می شود:

$2n<\sqrt{4n^2+n}<2n+\frac{1}{4}$

که نتیجه می شود قسمت اعشاری ان کمتر از $\frac{1}{4}$است.