ایدهٔ Hol هولومورف Holomorph یک گروه این است که خود گروه و گروه خودریختیهایش را با هم در یک گروه داشته باشیم. بنابراین تا بحث از هولومورف یک گروه شد دو چیز را باید سریع گذاشت روی میز یکی خود گروه یاد شده و دیگری گروه خودریختیهایش.
در اینجا با گروه $\overline{\mathbb{Z}}_3$ کار داریم، توجه کنید که این گروه تنها دو خودریختیدارد یکی
$$\begin{array}{lll}
\begin{array}{lcl}
& id & \\
0 & \mapsto & 0\\
1 & \mapsto & 1\\
2 & \mapsto & 2 \end{array} & \qquad & \begin{array}{lcl}
& \phi & \\
0 & \mapsto & 0\\
1 & \mapsto & 2\\
2 & \mapsto & 1 \end{array}\end{array}$$
در نتیجه $Aut(\overline{\mathbb{Z}}_3)\cong\overline{\mathbb{Z}}_2$.
و اما چگونه میتوان یک گروه و گروه خودریختیهایش را با هم در یک گروه داشت؟ یک ایده استفاده از ضرب نیمهمستقیم است که با $\rtimes$ آن را نمایش میدهند. اگر $G$ و $H$ دو گروه باشند و $\rho$ یک همریختی از $H$ به گروه خودریختیهای $G$ باشد آنگاه اثر هر $\rho$ روی هر عضو $h$ از $H$ یک خودریختی روی $G$ میشود و میتواند روی عنصرهای $G$ اثر کند و حاصل عضوی از $G$ شود. پس اگر $h\in H$ و $g,g'\in G$ آنگاه $g.(\rho(h)(g'))$ معنادار و عضوی از $G$ میشود. پس بیایید مجموعهٔ حاصلضرب دکارتی $G\times H$ را با این عمل مجهز کنید که دو جفت مرتب $(g,h)$ و $(g',h')$ را ببرد به $(g.(\rho(h)(g')),h.h')$ که نقطهٔ یکمی عمل گروه $G$ و نقطهٔ دومی عمل گروه $H$ است. این عمل دوتایی میشود، بنابراین به تعداد $\rho$های ممکن (عنصرهای $Hom(H,Aut(G))$ همریختیهای از $H$ به $Aut(G)$) میتوانیم عمل روی مجموعهٔ $G\times H$ بگذاریم. این مجموعه به همراه عمل دوتایی توضیحدادهشده گروه تشکیل میدهد، این گروه را ضرب نیمهمستقیم $G$ و $H$ متناظر به همریختی $\rho$ میخوانیم و برای تأکید و اشاره به همریختی انتخابشده آن را با $G\rtimes_\rho H$ نمایش میدهیم.
برای $Hol$ ایده، به کار بردن ضرب نیمهمستقیم است و سادهترین همریختی که میتوان برگزید نیز همریختی همانی است زیرا که در اینجا گروه دوم ما یعنی $H$ چیزی جز خود گروه خودریختیهای $G$ نیست و سادهترین و دم دستترین همریخی از $Aut(G)$ به خودش همان همریختی همانی است. پس در واقع برای یک گروه دلخواه $G$، گروه $Hol(G)$ چیزی نیست به جز $G\rtimes_{id}Aut(G)$. و عمل این گروه به خاطر همانی بودن همریختی به این شکل ساده میشود. اگر $a,b\in G,\phi,\psi\in Aut(G)$ آنگاه
$$(a,\phi)(b,\psi)=(a.\phi(b),\phi\psi)$$
در پرسش اینجا، اینکه $Hol(\overline{\mathbb{Z}}_3)$ همانند $S_3$ شش عضو دارد روشن است چرا که مجموعهٔ پسزمینهٔ این گروه حاصلضرب $\overline{\mathbb{Z}}_3$ و مجموعهٔ پسزمینهٔ گروهی یکریخت (و در نتیجه از عدد اصلی یکسان) با $\overline{\mathbb{Z}}_2$ است که $3\times 2=6$ عضو خواهد داشت. کافیست نشان دهیم که یک تناظر بین عنصرهای آنها وجود دارد که عملهایشان یکسان روی آنها عمل میکند (همان مفهوم همریختی) که در سادهترین حالت با کشیدن جدول عمل آنها که در اینجا به دلیل کوچک بودن عدد اصلی این گروهها ممکن است این کار را میتوان انجام داد. در واقع $(0,\phi)$ در تناظر با جایگشت $(1\;2)$ و $(1,id)$ در تناظر با جایگشت $(1\;2\;3)$ است.
در نتیجه $Hol(\overline{\mathbb{Z}}_3)\cong S_3$.
بعلاوه به یاد داشته باشید که هولومورف یک گروه، خود آن گروه و همینگونه گروه خودریختیهای آن گروه را به عنوان زیرگروه در بر دارد. زیرمجموعهٔ حاصل از زوجهای مرتبی که درایهٔ دومشان خودریختی همانی هستند تشکیل زیرگروهی را میدهد که با خود $G$ یکریخت است و زیرمجموعهٔ به دستآمده از زوجهای مرتبی که درایهٔ یکمشان همانی گروه است تشکیل زیرگروهی را میدهد که با $Aut(G)$ یکریخت است.
نکتهٔ نهایی اینکه به یاد نگهدارید که مجموعهٔ پسزمینهٔ $Hol$ مجموعهٔ حاصلضرب دکارتی مجموعهٔ $G$ و مجموعهٔ $Aut(G)$ است، پس تعداد عنصرهای گروه $Hol(G)$ برابر است با $|G|\times|Aut(G)|$.
