تمام جواب های حقیقی دستگاه ، $(a,b,c,d)$

Question

تمام جواب های حقیقی دستگاه زیر را بیابید :

\begin{cases}a+b=8 & \ ab+c+d=23 & \ ad+bc=28 & \ cd=12 & \end{cases}

راهنمایی :

قرار دهید $f(x)=x^2+ax+c$ و $g(x)=x^2+bx+d$ این $2 $ را در هم ضرب کنید و با تقسیم بر $x+1$ ساده کنید ....

کارایی که نوشته شده رو پایین انجام دادم :

$$f(x)g(x)=x^4+(a+b)x^3+(ab+c+d)x^2+(ad+bc)x+cd$$

$$f(x)g(x)=x^4+8x^3+23x^2+28x+12$$

$$f(x)g(x)=(x+1)(x^3+7x^2+16x+12)$$

منظور راهنمایی رو نمیفهمم یعنی نمیفهمم چجوری و از چه راهی میخواد به جواب برسه .

Answer 1

اگه مقسوم علیه های عدد 12 رو امتحان کنی معادله رو می تونی به صورت زیر تجزیه کنی

$f(x)g(x)=(x+1)(x+2)^{2} (x+3)$ حالا با توجه به راهنمایی چون دستگاه ضرایب حاصل ضرب دو تا چندجمله ای شده پس باید ببینیم به چند طریق میشه $f(x)g(x)$ رو به صورت ضرب دو تا چند جمله ای درجه 2 نوشت.داریم

$f(x)g(x)=( x^{2} +4x+3)( x^{2} +4x+4)$ $f(x)g(x)=( x^{2} +3x+2)( x^{2} +5x+6)$ از اینجا تمام جواب ها به دست میاد که چهارتاست.یعنی از هرکدوم دوتا. $(4,4,3,4),(4,4,4,3),(3,5,2,6),(5,3,6,2)$