با کمک اتحادها همهٔ $x,y,z$هایی را بیابید که در $x+y+z=x^3+y^3+z^3-18=x^7+y^7+z^7-2058=0$ صدق کنند.

Question

دستگاه سه برابری - سه مجهولِ زیر را در نظر بگیرید.

\begin{align} x+y+z &= 0\\ x^3+y^3+z^3 &= 18\\ x^7+y^7+z^7 &= 2058 \end{align}

همهٔ $x$ و $y$ و $z$ هایی را بیابید که در این دستگاه صدق کنند. راهنمایی: تعریف کنید $f(X)=(X-x)(X-y)(X-z)$. به کمکِ اتحادها ضریب‌های چندجمله‌ای $f(X)$ را پیدا کنید.

Answer 1

چندجمله‌ای درجهٔ 3 زیر را با ریشه‌های $x$ و $y$ و $z$ در نظر می‌گیریم.

$$f(X)=X^3+aX^2+bX+c$$

چون $x+y+z=0$ پس بنابر روابط بین ریشه‌ها باید $a=0$. پس $f(X)=X^3+bX+c $. پس

\begin{align} x^3+bx+c &= 0\\ y^3+by+c &= 0\\ z^3+bz+c &= 0 \end{align}

با جمع این سه تا نتیجه می‌شود که $c=-6$ پس $f(X)=X^3+bX-6 $. طرفین سه معادله بالا رو به ترتیب در $x^n$ و $y^n$ و $z^n$ ضرب می‌کنیم، سپس آنها را جمع می‌کنیم. داریم

$$x^{n+3}+y^{n+3}+z^{n+3}+b(x^{n+1}+y^{n+1}+z^{n+1})-6(x^n+y^n+z^n)=0$$

برای راحتی قرار می‌دهیم $S_n=x^n+y^n+z^n$ بنابراین $S_7+bS_5-6S_4 =0$. پس

$$S_7=-bS_5+6S_4=-b(-bS_3+6S_2)+6(-bS_2+6S_1=b^2S_3-12bS_2+36S_1$$

از طرفی $S_3=18$ و $S_2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)=-2b$ و $S_1=0$ و $S_7=2058$ پس $2058=42b^2$. پس $b=\pm 7$. ولی $b=7$ قابل قبول نیست چون $f(X)= X^{3} +7X-6$ تنها یک ریشه دارد. چون اکیدا صعودی است. پس $ f(X)= X^{3} -7X-6=0 $ و ریشه‌های این معادله $-1$ و $-2$ و 3 می‌باشند. پس $(-1,-2,3)$ و همهٔ جایگشت‌های آن نیز جواب دستگاه هستند.

Answer 2

$x+y+x=0 \Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz=18 \Rightarrow xyz=6$

با تجزیه $x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2x^2z^2$ با استفاده از اتحاد مکعب سه جمله ای و اتحاد مزدوج و مربع دو جمله ای می توان دید اگر $x+y+z=0$ داریم:

$x^y+y^4+z^4=2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)$

و داریم:

$(xy+yz+zx)^2=x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2+xyz(x+y+z)=x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2$

و همچنین:

$(x^3+y^3+z^3)(x^4+y^4+z^4)=x^7+y^7+z^7+x^3y^3(x+y)+x^3z^3(x+z)+y^3z^3(z+y)=x^7+y^7+z^7-zx^3y^3-yx^3z^3-xy^3z^3=x^7+y^7+z^7-xyz(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)$

اگر قرار دهیم$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2=a$ داریم:

$36a=2058-6a \Rightarrow a=49$

$(xy+yz+zx)^2=49 \Rightarrow xy+yz+zx= \pm 7$

توجه شود که از $xyz,xy+yz+zx,x+y+z$ می توان به معادلات اصلی رسید پس دستگاه معادلات تبدیل می شود به:

$$x+y+z=0$$

$$xyz=6$$

$$xy+yz+zx= \pm 7$$

حال چند جمله ای تشکیل می دهیم که $x,y,z$ ریشه ی ان باشند با توجه قضیه ی ویت این معادله برابر دو معادله زیر می باشد.

$$f(t)=t^3+7t-6,f(t)=t^3-7t-6$$

چند جمله ای $f(t)=t^3+7t-6$ حاکثر یک ریشه دارد چون اکیدا صعودی است.برای چند جمله ای دیگر داریم:

$f(t)=t^3-7t-6=(t-3)(t+1)(t+2)$

که نتیجه می دهد $x,y,z$ برابر $3,-1,-2$ می باشند .