سه عمل سطری-مقدماتی داریم.
- جابجا کردن جای دو سطر.
- اسکالر ناصفربرابر کردن یک سطر.
- جایگزین کردن یک سطر یا حاصل جمعش با اسکالر ناصفر برابری از سطری دیگر.
دو ماتریس A و B را هم‌ارز سطری گوئیم هر گاه یکی از آن دو را با انجام تعداد متناهی عمل از سه نوع بالا از روی دیگری بتوانیم بسازیم.
توجه کنید که اگر B توسط دنباله‌ای از اعمال سطری-مقدماتی از روی A ساخته‌شده‌باشد، آنگاه A نیز بوسیلهٔ دنباله‌ای از اعمال سطری-مقدماتی از روی B ساخته‌شدنی است. در واقع کافیست برعکس اعمال پیشین را از انتها به ابتدا روی B پیاده کنیم. برعکس این عمل‌ها نیز بدیهی‌اند. توجه کنید که اگر A' حاصل از جابجا شدن سطرهای i و jاُم ماتریس A باشد، آنگاه A نیز حاصل جابجا شدن سطرهای j و iاُم A' خواهد بود. اگر A'' حاصل از جایگزین کردن سطر iاُم ماتریس A با k برابر سطر iاُم باشد که k ناصفر است آنگاه ماتریس A نیز حاصل جایگزین شدن سطر iاُم ماتریس A'' با \frac{1}{k} برابر سطر iاُم خواهد بود. اگر ماتریس A''' حاصل جایگزین‌شدن سطر jاُم ماتریس A با جمع سطر jاُم با k برابر سطر iاُم باشد آنگاه ماتریس A نیز حاصل جایگزین‌شدن سطر jاُم ماتریس A''' با جمع سطر jام با -k برابر سطر iام است. همان‌گونه که می‌بینید علت خاصی برای ناصفر فرض کردن k در عمل سوم نیست به جز اینکه بدیهی نشود.
ترایایی بودن و بازتابی بودن این رابطه نیز آسان است پس یک رابطهٔ هم‌ارزی است.
فضای سطری یک ماتریس m\times n زیرفضای برداری تولید شده بوسیلهٔ مجموعهٔ بردارهای مربوط به m سطر این ماتریس در F^n است که F میدانی است که درایه‌های این ماتریس را از آن برداشته‌اید.
پس متن پرسش به این شکل تعبیر می‌شود که اگر ماتریس A و B هم‌ارز سطری باشند که در نتیجه می‌توان گفت B بوسیلهٔ تعداد متناهی عمل سطری-مقدماتی از روی A ساخته‌شده‌است، آنگاه فضای سطری A و B، یعنی زیرفضاهای برداری تولید شده بوسیلهٔ سطرهایشان یکسان هستند.
توجه کنید که دو ماتریس هم‌ارز سطری دارای تعداد سطر و ستون یکسان هستند. چون در هیچ یک از این عملیات سه‌گانه تعداد سطرها کم یا زیاد نمی‌شود و بعلاوه سطرهای جایگزین‌شدهٔ جدید نیز از ترکیب خطی سطرهای پیشین و در نتیجه با تعداد درایهٔ یکسان هستند پس تعداد ستون‌ها نیز تغییر نکرده‌است.
پس تا اینجا هر دو فضای سطری زیرفضای یک فضای برداری هستند.
اگر ثابت کنیم که ماتریسی که از یک عمل سطری-مقدماتی ناشی شده‌است دارای فضای سطری یکسانی است آنگاه با یک استقرای ریاضی (چون تعداد عمل‌های سطری-مقدماتی برای ماتریس‌های هم‌ارز سطری متناهی است) حکم ثابت می‌شود.
پس بدون کاستن از کلیت فرض کنیم B تنها پس از انجام یک عمل سطری-مقدماتی از روی A ساخته شده‌است. پس سه حالت داریم.
در حالت یک، مجموعهٔ سطرهای هر دو ماتریس برابر هستند که تنها ترتیب دو تا آنها جابجا شده‌است که در مجموعه ترتیب تأثیری ندارد و به دنبالش زیرفضای تولید شده بوسیلهٔ این دو مجموعه یکسان هستند.
در این حالت دو مجموعه در یک بردار تفاوت دارند ولی این دو بردار متفاوت مضرب اسکالر ناصفر برابر یکدیگرند و در نتیجه هر یک در فضای برداری تولید شده بوسیله مجموعهٔ شامل دیگری قرار خواهند داشت. بخواهیم خیلی مته به خشخاش بگذاریم و تا ته دلیل را بنویسیم، یک عضوگیری ساده می‌شود. بردارهای سطرهای ماتریس یکم را با r_1,\cdots,r_i,\cdots,r_m نمایش دهید و مجموعهٔ بردارهای سطرهای ماتریس دوم همان است به جز اینکه به جای r_i، بردار kr_i را داریم. یک عضو در فضای برداری ساخته‌شده بوسیلهٔ مجموعهٔ یکم به شکل زیر است.
u=a_1r_1+\cdots+a_ir_i+\cdots+a_mr_m
اما توجه کنید که a_i=a_i\times 1=a_i\times \frac{1}{k}k=(a_i\frac{1}{k})k. پس با تعریف کردن a_i'=a_i\frac{1}{k} داریم
u=a_1r_1+\cdots+a_i'(kr_i)+\cdots+a_mr_m
پس u در زیرفضای برداری ساخته‌شده بوسیلهٔ مجموعهٔ دوم نیز قرار گرفت! روشن است که برعکسش نیز روی می‌دهد یعنی هر عضو از زیرفضای برداری ساخته‌شده بوسیلهٔ مجموعهٔ دوم نیز در زیرفضای برداری ساخته‌شده بوسیلهٔ مجموعهٔ یکم نیز قرار می‌گیرد.حالت سوم نیز مانند حالت دوم بررسی می‌شود که تنها یک سطر است که در دو ماتریس متفاوت است. بردارهای ماتریس یکم را r_1,\cdots,r_i,\cdots,r_j,\cdots,r_m بگیرید. بردارهای سطرهای ماتریس دوم تنها فرقش این است که به جای r_j، r_j+kr_i دارد. در اینصورت یک عضو u از فضای برداری یکم مانند
u=a_1r_1+\cdots+a_ir_i+\cdots+a_jr_j+\cdots+a_mr_m
را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد که در فضای برداری دوم می‌اندازدش
u=a_1r_1+\cdots+(a_i-a_jk_j)r_i+\cdots+a_j(r_j+kr_i)+\cdots+a_mr_m
و برعکسش را نیز خودتان انجام دهید.
پس در هر سه حالت آنچه می‌خواستیم برقرار است و این پاسخ را به پایان می‌رساند.
توجه کنید که علت زمان گذاشتن روی اثبات تقارنی بودن رابطهٔ هم‌ارزی سطری بودن و معرفی برعکس سه عمل برای اینجا بود که در بازنویسی ترکیب‌های خطی بالا به کارمان می‌آمد.
و اما اینکه چرا برعکس گزاره نیز درست است، یعنی اگر دو ماتریس فضای سطری یکسان داشته‌باشند، هم‌ارز سطری هستند. از اینجا که فضای سطری یکسان دارند نتیجه می‌شود که هر دو مجموعهٔ سطرها یک زیرفضای برداری می‌سازند به ویژه هر کدام از این مجموعه‌ها درون فضای برداری دیگری قرار می‌گیرد پس هر یک از سرهای ماتریس دوم یک تریکب خطی از سطرهای ماتریس یکم است. در این صورت تداد متناهی بار اعمال سه عمل سطری-مقدماتی سطرهای جدید را می‌سازند و جایگزین سطرهای ماتریس یکم می‌کنند که هم‌ارزی سطری این دو را می‌رساند. جزئیات کار را خودتان تکمیل کنید. برای نمونه اگر سطر سوم ماتریس دوم جمع دو برابر سطر یکم و چهار برابر سطر دوم ماتریس یکم است آنگاه کافیست نخست سطر دوم را چهار برابر و جایگزین خودش کنید. سپس سطر دوم جدید را با دو برابر سطر یکم جمع و جایگزین سطر دوم جدید کنید. در نهایت سطر دوم جدید را با سطر طوم جابجا کنید. در نتیجه ماتریس حاصل دارای سطر سوم به شکلی که خواسته‌بودیم هست.
