آیا در$R^{n}$ می توان $n+1$ بردار مستقل خطی یافت؟ آیا رتبه سطری و ستونی ماتریس بادرایه در$R$ برابرند.

Question

فرض کنید $ R$ حلقه ای جابجایی و یکدار باشد در اینصورت

آیا در $R^{n} $ می توان $n+1 $ بردار مستقل خطی یافت؟

اگر $ A $ ماتریسی $m \times n $ با درایه های در $ R $ باشد آیا رتبه سطری و ستونی $ A$ مساویند؟

Answer 1

توجه کنید که $\mathbb{Z}$ یک حلقهٔ جابجایی و یک‌دار است. اما مجموعهٔ اعداد اول یک مجموعهٔ نامتناهی و در عین حال $\mathbb{Z}$-مستقل خطی از $\mathbb{Z}^1$ است. برای $n+1=1+1=2$ تنها کافیست دو تا از آنها را بردارید برای نمونه $\{2,3\}$ (نیاز نیست حتما با اعداد اول کار کنید ولی انتظار می‌رود اعداد اول سریع به ذهن‌تان برسد!). این پرسش‌ها را باید در درس جبرخطی برخورد داشته‌بوده‌باشید. اکنون برای رتبهٔ سطری و ستونی. ماتریسِ $\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}$ را در نظر بگیرید. رتبهٔ سطریِ آن ۱ ولی رتبهٔ ستونی آن ۲ است.