نامساوی حسابی - هندسی راه گریز

Question

در این نامساوی ضمن دیدن روش های دانشگاهی روشی ابتدایی تر غیر استقرا معرفی نمایید( حالت کلی را) باتشکر

Answer 1

واسطه حسابی رو با A و واسطه هندسی رو با G نشون میدیم.تابع نمایی $y= e^{ \frac{x}{G} } $ رو در نظر میگیریم.به راحتی با دوبار مشتق گیری معلوم میشه که تابع محدبه.پس مماس بر نمودار تابع در هرنقطه زیر نمودار قرار میگیره.معادله خط مماس رو در نقطه $(G,e)$ می نویسیم که میشه $y= \frac{e}{G} x$ پس $ e^{ \frac{x}{G} } \geq \frac{ex}{G} $

حالا برای اثبات نامساوی $x= a_{i},1 \leq i \leq n $ قرار میدیم در نامساوی به دست آمده و اونها رو در هم ضرب می کنیم داریم

$ e^{ \frac{ a_{1} + a_{2} +...+ a_{n} }{G} } \geq ( \frac{e a_{1} }{G} )( \frac{e a_{2} }{G} )...( \frac{e a_{n} }{G} )= e^{n} $

پس $ e^{ \frac{nA}{G} } \geq e^{n} \longrightarrow \frac{nA}{G} \geq n \longrightarrow A \geq G $

البته باید بگم که این اثبات رو از کتاب مباحثی در ریاضیات دبیرستانی نوشته محمود نصیری برداشتم.

Answer 2

برای اثبات حکم ، اول برای $n=2^k \mid k \ \epsilon\ N$ ثابت میکنیم که حکم برقرار است سپس ثابت میکنیم اگر برای $n$ این نامساوی برقرار باشد برای $n-1 $ نیز برقرار است در نتیجه حکم اثبات میشود . برای $n=2$ که داریم $ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0 $ برا تعداد 4 عدد میشه به 2 دسته 2 تایی تقسیم کرد :

$ \frac{a+b+c+d}{4}\geq \sqrt[4]{abcd} \ $ مینویسیم $ \frac{ \frac{a+b}{2} + \frac{b+c}{2} }{2} \geq \sqrt{ \frac{a+b}{2} . \frac{c+d}{2} } \geq \sqrt{ \sqrt{ab} . \sqrt{cd} } $

حال با استفاده از 4 تایی 3 تایی را نیز ثابت میکنیم به همین صورت میتوان نتیجه گرفت اگر برای $n$ برقرار باشد برای $n-1$ نیز برقرار است . در فرمول بالا به جای $d$, $ \frac{a+b+c}{3} $ را قرار میدهیم .

$\frac{a+b+c+ \frac{a+b+c}{3} }{4}= \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[4]{abc. \frac{a+b+c}{3} } $

حال 2 طرف رو به توان 4 برسون نتیجه حاصل میشود .

در کل اگر برای $n$ برقرار باشد میتوان نوشت : $ \frac{ a_{1} + a_{2} ...+ a_{n-1} + \frac{ a_{1} + a_{2} ...+ a_{n-1} }{n-1} }{n} = \frac{ a_{1} + a_{2} ..+ x_{n-1} }{n-1} \geq \sqrt[n]{ a_{1} . a_{2} ...\ a_{n-1} . \frac{ a_{1} + a_{2} ...+ a_{n-1} }{n-1} } $

حال اگه 2 طرف رو به توان $ n $ برسونیم و در $\frac{ a_{1} + a_{2} ...+ a_{n-1} }{n-1}$ تقسیم کنیم نتیجه میشود برای $n-1$ نیز برقرار است .

Comments

اگه دقت کرده باشین تو سوال نوشته روش غیر استقرا

---

شرمنده . جوابو میزارم باشه شاید ینفر اومد خوند :)

Answer 3

$$ G= \sqrt[n]{a_{1} . a_{2} ... a_{n} } $$ $$ 1= \sqrt[n]{ \frac{1}{G^n} .a_{1} . a_{2} ... a_{n} } $$ $$ 1= \sqrt[n]{ \frac{a_{1}}{G} . \frac{a_{2}}{G} ... \frac{a_{n}}{G} } $$ $$ 1= { \frac{a_{1}}{G} . \frac{a_{2}}{G} . ... \frac{a_{n}}{G} } $$ $$ { \frac{a_{1}}{G} + \frac{a_{2}}{G} + ... + \frac{a_{n}}{G} } \geq n $$ $$ \frac{ a_{1} + a_{2} +...+ a_{n} }{G} \geq n $$ $$ \frac{ a_{1} + a_{2} +...+ a_{n} }{n} \geq G $$ $$A \geq G$$

Comments

فارغ از نحوه نوشتن که قبلا هم گفتم اینگونه نحوه نوشتن مناسب نیست(از نظر نحوه نوشتن مطلب ریاضی اینکه سعی کنید فقط مطلب ریاضی رو بنویسید و توضیح فارسیش کنارش نباشه) میشه بگید چطور اون قسمت بزرگتر یا مساوی رو نتیجه گرفتید؟(سطر پنجم)
البته اثبات درس هست چرا که چنانچه حاصلضرب $n$ عدد مثبت برابر یک شود مجموع آنها بزرگتر یا مساوی $n$ خواهد بود! ولی این مطلب با استقرا ثابت می شود.