به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
152 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

اگر $a,b,c \geq 0$ نامساوی $ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} $ رابا استفاده از تغییر متغیر و تنها واسطه ی حسابی - هندسی 2 تایی حل کنید .

راهنمایی : $x=b+c$ , $y=a+c$ , $z=a+b$

$x$ , $y$ و $z$ رو قرار دادم بدست اومد $2a=y+z-x$ , $2b=x+z-y$ , $2c=x+y-z$

دارای دیدگاه توسط
باید این شرط رو اضافه کنید که $a$و$b$و$c$مثبت هستند.
دارای دیدگاه توسط
$a,b,c$ منفی هم فکر کنم درست باشه
دارای دیدگاه توسط
بله درسته باید نامنفی باشند.
دارای دیدگاه توسط
ویرایش کردم .

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اول یک لم رو ثابت می کنیم

لم:اگر $a,b,c$ مثبت باشند آن گاه $(a+b+c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) \geq 9$

اثبات: باضرب پرانتز ها و استفاده از رابطه $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 $ رابطه اثبات می شود. حالا با استفاده از این لم می نویسیم $((a+b)+(b+c)+(c+a))( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} ) \geq 9$ بنابراین

$(a+b+c)( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} ) \geq \frac{9}{2} $

حالا با ضرب پرانتزها نتیجه حاصل میشه.

دارای دیدگاه توسط
به نظر من لم رو با کوشی شوارتز اثبات کنید بهتره.
دارای دیدگاه توسط
خیلی ممنون اگه امکان داره با راهی که خود سوال توضیح داده هم حل کنید .
دارای دیدگاه توسط
اون تغییر متغیرها رو که انجام دادی تو سمت چپ نامساوی جایگذاری کن بعد از 1/2 فاکتور بگیر صورت ها رو بر مخرج تک به تک تقسیم کن و از این نکته که مجموع هر عدد با عکسش بزرگتر یا مساوی 2 استفاده کن مسئله حل میشه.

البته راه حل دیگه این مسئله استفاده از نامساوی مورهد.
دارای دیدگاه توسط
@Taha1381
بله نتیجه مستقیم کوشی شوارتز.
0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} =(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})-3 $

حال از تغییر متغیر راهنمایی استفاده کنید.

$\frac{1}{2}(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-3=\frac{1}{2}(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+3)-3$

حال طبق نامساوی میانگین حسابی هندسی داریم:$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2$ با استفاده از این عبارت به دست می اید:

$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \ge 4.5-3=1.5$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...