حل نامساوی با استفاده از تغییر متغیر و واسطه ی حسابی - هندسی 2 تایی .

Question

اگر $a,b,c \geq 0$ نامساوی $ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} $ رابا استفاده از تغییر متغیر و تنها واسطه ی حسابی - هندسی 2 تایی حل کنید .

راهنمایی : $x=b+c$ , $y=a+c$ , $z=a+b$

$x$ , $y$ و $z$ رو قرار دادم بدست اومد $2a=y+z-x$ , $2b=x+z-y$ , $2c=x+y-z$

Comments

باید این شرط رو اضافه کنید که $a$و$b$و$c$مثبت هستند.

---

$a,b,c$ منفی هم فکر کنم درست باشه

---

بله درسته باید نامنفی باشند.

---

ویرایش کردم .

Answer 1

اول یک لم رو ثابت می کنیم

لم:اگر $a,b,c$ مثبت باشند آن گاه $(a+b+c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) \geq 9$

اثبات: باضرب پرانتز ها و استفاده از رابطه $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 $ رابطه اثبات می شود. حالا با استفاده از این لم می نویسیم $((a+b)+(b+c)+(c+a))( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} ) \geq 9$ بنابراین

$(a+b+c)( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} ) \geq \frac{9}{2} $

حالا با ضرب پرانتزها نتیجه حاصل میشه.

Comments

به نظر من لم رو با کوشی شوارتز اثبات کنید بهتره.

---

خیلی ممنون اگه امکان داره با راهی که خود سوال توضیح داده هم حل کنید .

---

اون تغییر متغیرها رو که انجام دادی تو سمت چپ نامساوی جایگذاری کن بعد از 1/2 فاکتور بگیر صورت ها رو بر مخرج تک به تک تقسیم کن و از این نکته که مجموع هر عدد با عکسش بزرگتر یا مساوی 2 استفاده کن مسئله حل میشه.

البته راه حل دیگه این مسئله استفاده از نامساوی مورهد.

---

@Taha1381
بله نتیجه مستقیم کوشی شوارتز.

Answer 2

$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} =(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})-3 $

حال از تغییر متغیر راهنمایی استفاده کنید.

$\frac{1}{2}(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-3=\frac{1}{2}(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+3)-3$

حال طبق نامساوی میانگین حسابی هندسی داریم:$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2$ با استفاده از این عبارت به دست می اید:

$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \ge 4.5-3=1.5$