خوب امیدوارم از طولانی شدن پاسخ خسته نشوید.
باقمانده عدد $9^k$ بر صد به ازای هر باقیمانده $k$ بر ۱۰ عدد خاصی را تولید می کند.پس ما باقیمانده $k$ بر ۱۰ را پیدا می کنیم و باقیمانده $9^k$ بر ۱۰۰ را به ازای اینگونه $k$ ها به دست می اوریم.
باقیمانده $8^a$ بر ۱۰ اگر باقیمانده $a$ بر ۴ بر ابر ۰ باشد برابر است با:
$8^{4b}=4096^b$
می دانیم اگر رقم یکان عددی ۶ باشد هر چند بار هم که عدد را به توان برسانیم باز هم رقم یکان ان ۶ است.
اگر باقیمانده $a$ بر ۴ برابر ۱ باشد رقم یکان ان ۸ است چون:
$8^{4b+1}=4096^b*8$
که رقم یکان ان همواره برابر است با ۸.
اگر باقیمانده $a$ بر ۴ برابر ۲ باشد رقم یکان ان برابر ۴ است چون:
$8^{4b+2}=4096^b*64$
که رقم یکان ان همواره برابر ۴ است.
اگر باقیمانده $a$ بر ۴ برابر ۳ باشد انگاه رقم یکان ان همواره برابر ۲ است چون:
$8^{4b+3}=4096^b*512$
که رقم یکان ان همواره برابر ۲ است.
پس حال کافی است باقیمانده توان ۸ را بر ۴ بیابیم.
باقیمانده $7^c$ بر ۴ اگر $c=2d$ همواره برابر ا است چون:
$7^{2d}=49^d=(48+1)^d$
اگر عبارت بالا را با بسط نیوتن بسط دهیم همهی جملات بر ۴ بخشپذیر خواهند بود به جز جمله اخر که مقدار ان برابر ۱ است.پس باقیمانده ان بر ۴ برابر ۱ می شود.
باقیمانده $7^c$ بر ۴ اگر $c=2d+1$ همواره برابر است با ۳ چون:
$7^{2d+1}=7^d*7$
$=(4f+1)*7$
$=28f+7=4(7f+1)+3=4w+3$
می دانیم که توان ۷ در عبارت بالا عددی زوج است پس باقیمنده ان بر ۴ برابر است با ۱.و می دانیم باقیمانده $8^{4b+1}$ بر ۱۰ برابر است با ۸.
پس ما می خواهیم باقیمانده عبارت $9^{10k+8}$ را بر ۱۰۰ بیابیم
اگر k=10m انگاه باقیمانده 9k بر ۱۰۰ برابر است با ۱ چون:
$9^{10m}=(9^{10})^m=3486784401^m$
که به صورت $100k+1$ است که به هر توانی برسد طبق بسط نیوتن باقیمانده ان بر ۱۰۰ برابر است با ۱.
اگر $k=10m+8$ انگاه باقیمانده $9^k$ بر ۱۰۰ برابر است با ۲۱ چون:
$9^{10m+8}=9^{10m}*9^8$
$=(100k+1)*43046721$
$=4304672100K+43046721$
$=100(43046721k+430467)+21=100n+21$
که نتیجه می دهد دو رقم اول ان برابر است با ۲۱.
