اگر متغیر گسسته باشد آنگاه توجه کنید که تعریف واریانس برابر بود با
$$V(X)=E((X-E(X))^2)=\sum_x(x-E(X))^2p(X=x)$$
در اینجا داریم $E(X)=c$ و $V(X)=0$ پس؛
$$\sum_x(x-c)^2P(X=x)=0$$
چون $(x-c)^2$ برای هر $x$ای مقداری نامنفی است و همچنین احتمال همواره نامنفی است (در واقع بین صفر و یک است) یعنی $P(X=x)$ نیز برای هر $x$ای نامنفی است پس جمعوندهای جمع واریانسمان حاصلضرب دو عدد نامنفی و در نتیجه مقادیری نامنفی است. جمع یک سری عدد حقیقی نامنفی تنها در صورتی صفر است که همهٔ آنها با هم صفر باشند یعنی برای هر $x$ای داریم $(x-c)^2P(X=x)=0$ حاصلضرب دو عدد زمانی صفر است که دستکم یکی از آنها صفر باشد. عبارت یکم یعنی $(x-c)^2$ زمانی صفر است که $x-c$ صفر باشد که یک پاسخ بیشتر ندارد پس هر زمانی که $x\neq c$ باشد باید عبارت دوم یعنی $P(X=x)$ صفر شود اما این یعنی احتمال اینکه متغیر تصادفی $X$ مقدار $x$ را به خود بگیرد صفر است. پس نتیجه این است که متغیر تصادفی ما تنها یک برآورد دارد و آن مقدار $c$ است پس $P(X=c)=1$.
اکنون به حالت پیوسته سر میزنیم. تعریف واریانس در حالت پیوسته برابر است با
$$V(X)=E((X-E(X))^2)=\int (x-E(X))^2P(X=x)dx$$
در اینجا داریم $E(X)=c$ و $V(X)=0$ پس
$$0=\int (x-c)^2P(X=x)dx$$
تابع $y(x)=(x-c)^2P(X=x)$ آشکارا با دلیل مشابه به آنچه در حالت گسسته گفتیم همیشه مقدار نامنفی اتخاذ میکند پس تابعمان به اصطلاح نامنفی است که با علامت $y\geq 0$ نیز میتوانیم نمایش دهیم. انتگرال لبگ یک تابع نامنفی تنها زمانی صفر است که تقریبا همهجا صفر باشد. این تابع نیز به جز نقطهٔ $x=c$ فقط به شرط $P(X=x)=0$ میتواند صفر شود پس اندازهٔ مجموعهای که تابع احتمالمان بر آن ناصفر است، صفر است و افزودن آن یک نقطه ($x=c$) نیز تغییری در اندازهٔ لبگش نمیکند. اما اینکه تابع احتمالمان تقربا همهجا صفر باشد باعث میشود که تابع تجمعیمان که انتگرال تابع احتمال بر کل $\mathbb{R}$ است نیز صفر شود که تناقض با تعریف تابع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته دارد پس از ابتدا متغیر تصادفی پرسش ما یک متغیر تصادفی پیوسته نبودهاست و به حالت یکم یعنی گسسته برگشت داده میشویم.
