تعداد پاسخ های صحیح برابریِ $x^2+y^2+z^2=2015$ را بیابید.

Question

اگر $n$ تعداد جواب‌های صحیح معادله $x^2+y^2+z^2=2015$ باشدِ $n$ را پیدا کنید.

ویرایشگر: پرسش‌کننده به تلاش خود اشاره‌ای نکرده‌است.

Comments

@neseli : با درود به همراه گرامی. حل این مسئله روشی دارد که آنرا آماده و به دوستان ارائه خواهم داد. تنها نکته اینکه طبق حکم لژاندر هرعددی که بشكل $4^k(8n+7)$ نباشد، میتوان آنرا بصورت مجموع سه مربع نمایش داد. پس الزاماً این مسئله جواب یا جوابهایی دارد که با اصول روشمندی قابل دستیابی است. تندرست و موفق باشید.

---

@neseli : حق با استاد گرامی @amir7788 است‌. در حکم لژاندر $k,n$ میتوانند متعلق به اعداد حسابی باشند و چون $2015=4^0(8×251+7)$ است، نمیتوان آنرا بصورت مجموع سه مربع نمایش داد.

Answer 1

از دو نکته زیر استفاده می کنیم

نکته1) باقیمانده عدد مربع کامل و فرد بر 8 برابر 1 می باشد

نکته2) باقیمانده مربع کامل و زوج بر 8 برابر 0 یا 4 می باشد.

باقیمانده 2015 بر 8 برابر 7 می باشه از طرفی x، y و zهر سه فرد(نکته 1) یا زوج نمی باشد تنها حالت اینه که یکی فرد و دوتا زوج باشه مثلا x فرد و دو تای دیگر زوج می باشه با توجه به دو نکته بالا باقیمانده مربع x بر 8 برابر 1 می باشه و باقیمانده مجموع مربع دوتای دیگر بر 8 با 0 یا 4 می باشد بنابراین باقیمانده مجموع یه مربع کامل بر 8 یا برابر 1 یا 5 می باشه اما باقیمانده 2015 بر 8 برابر 7 می باشه بنابراین این معادله هیچ جوابی ندارد به عبارتی n=0 می باشد.

Answer 2

برای حل این معادله، می‌توان از روش جست‌وجوی خطی استفاده کرد. با توجه به این که مقدار$ 2015$ به صورت مجموع سه مربع کامل قابل نمایش است، می‌توانیم به دنبال تمام جفت‌های مرتب اعداد طبیعی$ (x، y، z)$ بگردیم که مجموع مربعات آن‌ها برابر با $2015 $است.

برای این منظور، می‌توانیم از دو حلقه تودرتو استفاده کنیم. در حلقه خارجی، از یک عدد صحیح$ i $شروع کرده و تا جزئیات زیر پیش برویم:

• در حلقه داخلی، از یک عدد صحیح$ j $شروع کرده و تا جزئیات زیر پیش برویم:
• در حلقه داخلی دوم، از یک عدد صحیح $k$ شروع کرده و تا جزئیات زیر پیش برویم:
• اگر مقدار $x^2 + y^2 + z^2$ برابر با$ 2015 $باشد، آن‌گاه یک جواب صحیح پیدا شده است.
• اگر مقدار $x^2 + y^2 + z^2 $بیشتر از $2015 $باشد، آن‌گاه دیگر نیازی به ادامه حلقه داخلی نیست و می‌توان به حلقه داخلی بعدی رفت.
• در پایان حلقه داخلی دوم، به حلقه داخلی بعدی می‌رویم.
• در پایان حلقه داخلی، به حلقه خارجی برمی‌گردیم.
• در پایان حلقه خارجی، جست‌وجو تمام شده است و تعداد جواب‌های صحیح پیدا شده را محاسبه می‌کنیم.

کد این الگوریتم به صورت زیر است:

count = 0
for i in range(1, int(math.sqrt(2015)) + 1):
    for j in range(i, int(math.sqrt(2015 - i**2)) + 1):
        for k in range(j, int(math.sqrt(2015 - i**2 - j**2)) + 1):
            if i**2 + j**2 + k**2 == 2015:
                count += 1
print(count)

با اجرای این کد، تعداد جواب‌های صحیح معادله به دست می‌آید.

Comments

@AmirHossein سپاسگزارم از توجه شما