سلام، همانطور که اشاره شده $(a,b) = (1,1)$ یک جواب است. پس برای $a,b>1$
واضح است که مجموعه فاکتورهای اول دو عدد $ a,b$ بایستی یکی باشد. همچنین اگر
$$ a = \prod p_i^{\alpha_i} = (\alpha_1 , \dots , \alpha_n)$$
و
$$ b = \prod p_i^{\beta_i} = (\beta_1 , \dots , \beta_n)$$
دو عدد طبیعی $c,s$ وجود دارند که
$$c (\alpha_1 , \dots , \alpha_n) - s (\beta_1 , \dots , \beta_n) = (0,\dots,0) $$
در واقع بینهایتتا وجود دارد. حال میتوان گفت که
$$ a = b^{\frac{m}{n}} $$
برای دو عدد طبیعی $m,n$ (فرض کنید که به هم اولند) . با جایگذاری در معادله اصلی داریم:
$$ b^{{\frac{m}{n}b^2}} = b^{b ^{\frac{m}{n}}} \implies \frac{m}{n}b^2 = b ^{\frac{m}{n}}$$
اگر $n=1$ باشد میتوان گفت که $m = b^k$ و در نتیجه
$$ b^{k+2} = b^{b^{k}} \implies k + 2 = b^k $$
به راحتی میتوان ثابت کرد با استقرا که برای $b \geq 4$ هیچ جواب نداریم و برای
$$ b = 3 \implies k = 1 \implies m = 3 \implies a = 27 $$
$$ b = 2 \implies k = 2 \implies m = 4 \implies a= 16 $$
حال اگر $n>1$ در این صورت سمت چپ لزوما گویا است اما سمت راست ممکن است گنگ باشد و تنها در صورت گویا است که $b = c^n$ باشد. حال داریم
$$ \dfrac{m}{n} c^{2n} = c^{m} \implies \dfrac{m}{n} = c^{m-2n}$$
اگر $m-2n> 0$ در این صورت $n=1$ که بهش اشاره شده. اگر $m-2n < 0$ در این صورت $m=1$ است. و در نتیجه
$$ n = c^{2n -1 } $$
که هیچ جواب ندارد در اعداد طبیعی. پس مجموعه تمامی جوابهای
$$(a,b) = \{(1,1) , (16,2), (27,3) \} $$
هست.
