به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
205 بازدید
در دانشگاه توسط A-math-lover (665 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

اگر معادله‌ای درجۀ سه به شکل زیر داشته باشیم:

$$\large x^3=a, (a \in\mathbb{R})$$

ریشه‌های مختلط این معادله به‌صورت زیر هستند:

$$x_1= \sqrt[3]{a} $$ $$x_{2,3}= \frac{- \sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} }{2} $$

اولین ریشۀ این معادله با ریشۀ سوم گرفتن از طرفین به‌دست می‌آید، اما پرسش اصلی من این است که ریشه‌های دوم و سوم چگونه به‌دست می‌آیند؟

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Math.Al (1,441 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al
 
بهترین پاسخ

به نام خدا

برای به‌دست آوردن تمام ریشه‌های معادلهٔ زیر:

$$x^3=a, (x \in\mathbb{C}, a \in\mathbb{R})$$

ابتدا از طرفین معادله، ریشۀ سوم می‌گیریم:

$$x^3=a \Rightarrow x= \sqrt[3]{a}$$

یکی از ریشه‌های معادلهٔ $x^3 =a$، برابر با $ \sqrt[3]{a} $ شد، پس چندجمله‌ای $x^3-a$ بر $x- \sqrt[3]{a} $ بخش‌پذیر است. اگر عملیات تقسیم $x^3-a$ بر $x- \sqrt[3]{a} $ را انجام دهیم، حاصل برابر با $x^2+ \sqrt[3]{a} \cdot x+ \sqrt[3]{a^2} $ می‌شود که یک چندجمله‌ایِ درجۀ دوم برحسب $x$ است. با به‌دست آوردن ریشه‌های آن به $\large x= \frac{ -\sqrt[3]{a}\pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} }{2} $ می‌رسیم. پس سه ریشۀ معادلۀ $x^3 = a$، به‌صورت زیر هستند:

$$ x_1 = \sqrt[3]{a}\\ x_2 = \frac{-\sqrt[3]{a} + i \sqrt{3} \sqrt[3]{a}}{2}\\ x_3 = \frac{-\sqrt[3]{a} - i \sqrt{3} \sqrt[3]{a}}{2} $$
+3 امتیاز
توسط mdgi (1,553 امتیاز)

هر معادله بصورت $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_1x^1+a_0 $ در مجموعه اعداد مختلط $n$ ریشه دارد (البته ممکنه بعضی ریشه ها تکراری باشند). پس معادله $x^3=a$ سه تا ریشه دارد و ریشه‌هاش همان‌هایی هستند که در سوال نوشته‌اید. برای اطمینان کافیست به توان سه برسانید تا $a$ را بدست آورید.

برای بدست آوردن ریشه‌های $n$-ام می‌توانید به صفحه زیر رجوع کنید:

https://math.irancircle.com/17770


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...