برای یافتن ریشههای دوم و سوم معادله درجه سه به شکل x^3 = a، میتوانیم از روش تجزیه به عاملهای خطی و درجه دو استفاده کنیم. برای این کار، ابتدا یک تغییر متغیر انجام میدهیم تا معادله را به شکل استاندارد t^3 - pt - q = 0 درآوریم. با جایگزینی x = t - \frac{a}{t} در معادله اصلی، داریم:
(t - \frac{a}{t})^3 = a
با باز کردن پرانتز و سادهسازی، به معادله زیر میرسیم:
t^6 - a t^2 - a^2 = 0
حال، با جایگزینی t^2 = u، معادله را به شکل استاندارد درجه سه در میآوریم:
u^3 - a u - a^2 = 0
که در آن p = -a و q = -a^2 هستند. برای یافتن ریشههای این معادله، از فرمول کاردانو استفاده میکنیم:
u_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}
با جایگزینی مقادیر p و q، داریم:
u_1 = \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}
حال، با توجه به اینکه t^2 = u_1، دو ریشه t_1 و t_2 را به دست میآوریم:
t_1 = \sqrt{u_1}, \quad t_2 = -\sqrt{u_1}
در نهایت، با جایگزینی t_1 و t_2 در x = t - \frac{a}{t}, ریشههای دوم و سوم معادله اصلی را به دست میآوریم:
x_2 = t_1 - \frac{a}{t_1} = \sqrt{u_1} - \frac{a}{\sqrt{u_1}} = \sqrt{u_1} - \frac{a}{\sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}}
x_3 = t_2 - \frac{a}{t_2} = -\sqrt{u_1} - \frac{a}{-\sqrt{u_1}} = -\sqrt{u_1} + \frac{a}{\sqrt{u_1}} = -\sqrt{u_1} + \frac{a}{\sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}}
با سادهسازی و استفاده از خواص ریشه سوم، میتوانیم ریشههای دوم و سوم را به شکل زیر بنویسیم:
x_2, x_3 = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} \left(1 - \frac{1}{2 \sqrt[3]{a^2} \left(\sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}\right)}\right)
با سادهسازی بیشتر، به شکل نهایی ریشههای دوم و سوم میرسیم:
x_2, x_3 = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} \left(1 - \frac{1}{2 \sqrt[3]{a}}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right)
که با توجه به اینکه a مثبت است، میتوانیم بنویسیم:
x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}} = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \left(\frac{a - \frac{1}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}\right)
و با سادهسازی نهایی، به شکل زیر میرسیم:
x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{a}}{2 \sqrt[3]{a}} = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right)
که با توجه به اینکه a مثبت است، میتوانیم بنویسیم:
x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}} = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \left(\frac{a^2 - \frac{a}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}\right)
و با سادهسازی نهایی، به شکل زیر میرسیم:
x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{a}}{2 \sqrt[3]{a}} = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^3} - \frac{a}{2}\right)