به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+2 امتیاز
357 بازدید
در دانشگاه توسط A-math-lover (777 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser

اگر معادله‌ای درجۀ سه به شکل زیر داشته باشیم:

\large x^3=a, (a \in\mathbb{R})

ریشه‌های مختلط این معادله به‌صورت زیر هستند:

x_1= \sqrt[3]{a}
x_{2,3}= \frac{- \sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} }{2}

اولین ریشۀ این معادله با ریشۀ سوم گرفتن از طرفین به‌دست می‌آید، اما پرسش اصلی من این است که ریشه‌های دوم و سوم چگونه به‌دست می‌آیند؟

4 پاسخ

+2 امتیاز
توسط UnknownUser (1,608 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser
 
بهترین پاسخ

به نام خدا

برای به‌دست آوردن تمام ریشه‌های معادلهٔ زیر:

x^3=a, (x \in\mathbb{C}, a \in\mathbb{R})

ابتدا از طرفین معادله، ریشۀ سوم می‌گیریم:

x^3=a \Rightarrow x= \sqrt[3]{a}

یکی از ریشه‌های معادلهٔ x^3 =a، برابر با \sqrt[3]{a} شد، پس چندجمله‌ای x^3-a بر x- \sqrt[3]{a} بخش‌پذیر است. اگر عملیات تقسیم x^3-a بر x- \sqrt[3]{a} را انجام دهیم، حاصل برابر با x^2+ \sqrt[3]{a} \cdot x+ \sqrt[3]{a^2} می‌شود که یک چندجمله‌ایِ درجۀ دوم برحسب x است. با به‌دست آوردن ریشه‌های آن به \large x= \frac{ -\sqrt[3]{a}\pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} }{2} می‌رسیم. پس سه ریشۀ معادلۀ x^3 = a، به‌صورت زیر هستند:

x_1 = \sqrt[3]{a}\\ x_2 = \frac{-\sqrt[3]{a} + i \sqrt{3} \sqrt[3]{a}}{2}\\ x_3 = \frac{-\sqrt[3]{a} - i \sqrt{3} \sqrt[3]{a}}{2}
+3 امتیاز
توسط mdgi (1,558 امتیاز)

هر معادله بصورت a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_1x^1+a_0 در مجموعه اعداد مختلط n ریشه دارد (البته ممکنه بعضی ریشه ها تکراری باشند). پس معادله x^3=a سه تا ریشه دارد و ریشه‌هاش همان‌هایی هستند که در سوال نوشته‌اید. برای اطمینان کافیست به توان سه برسانید تا a را بدست آورید.

برای بدست آوردن ریشه‌های n-ام می‌توانید به صفحه زیر رجوع کنید:

https://math.irancircle.com/17770

0 امتیاز
توسط

برای یافتن ریشه‌های دوم و سوم معادله درجه سه به شکل x^3 = a، می‌توانیم از روش تجزیه به عامل‌های خطی و درجه دو استفاده کنیم. برای این کار، ابتدا یک تغییر متغیر انجام می‌دهیم تا معادله را به شکل استاندارد t^3 - pt - q = 0 درآوریم. با جایگزینی x = t - \frac{a}{t} در معادله اصلی، داریم:

(t - \frac{a}{t})^3 = a

با باز کردن پرانتز و ساده‌سازی، به معادله زیر می‌رسیم:

t^6 - a t^2 - a^2 = 0

حال، با جایگزینی t^2 = u، معادله را به شکل استاندارد درجه سه در می‌آوریم:

u^3 - a u - a^2 = 0

که در آن p = -a و q = -a^2 هستند. برای یافتن ریشه‌های این معادله، از فرمول کاردانو استفاده می‌کنیم:

u_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}

با جایگزینی مقادیر p و q، داریم:

u_1 = \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}

حال، با توجه به اینکه t^2 = u_1، دو ریشه t_1 و t_2 را به دست می‌آوریم:

t_1 = \sqrt{u_1}, \quad t_2 = -\sqrt{u_1}

در نهایت، با جایگزینی t_1 و t_2 در x = t - \frac{a}{t}, ریشه‌های دوم و سوم معادله اصلی را به دست می‌آوریم:

x_2 = t_1 - \frac{a}{t_1} = \sqrt{u_1} - \frac{a}{\sqrt{u_1}} = \sqrt{u_1} - \frac{a}{\sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}}

x_3 = t_2 - \frac{a}{t_2} = -\sqrt{u_1} - \frac{a}{-\sqrt{u_1}} = -\sqrt{u_1} + \frac{a}{\sqrt{u_1}} = -\sqrt{u_1} + \frac{a}{\sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}}

با ساده‌سازی و استفاده از خواص ریشه سوم، می‌توانیم ریشه‌های دوم و سوم را به شکل زیر بنویسیم:

x_2, x_3 = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} \left(1 - \frac{1}{2 \sqrt[3]{a^2} \left(\sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}\right)}\right)

با ساده‌سازی بیشتر، به شکل نهایی ریشه‌های دوم و سوم می‌رسیم:

x_2, x_3 = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} \left(1 - \frac{1}{2 \sqrt[3]{a}}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right)

که با توجه به اینکه a مثبت است، می‌توانیم بنویسیم:

x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}} = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \left(\frac{a - \frac{1}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}\right)

و با ساده‌سازی نهایی، به شکل زیر می‌رسیم:

x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{a}}{2 \sqrt[3]{a}} = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right)

که با توجه به اینکه a مثبت است، می‌توانیم بنویسیم:

x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}} = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \left(\frac{a^2 - \frac{a}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}\right)

و با ساده‌سازی نهایی، به شکل زیر می‌رسیم:

x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{a}}{2 \sqrt[3]{a}} = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^3} - \frac{a}{2}\right)

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (3,537 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

اگر a=0 آنگاه معادله یک ریشه دارد: x=0 در غیر این صورت:

a \in R \Rightarrow if:a>0 :Arga=0,if :a< 0:Arga= \pi

حالا ریشه ها چنین به دست میاد:

x_k= \sqrt[3]{|a|}(cos \frac{2k \pi +Arga}{3} +isin\frac{2k \pi+Arga}{3}),k=0,1,2

\Box

...