چگونگی بدست آمدن ریشه های معادلهٔ $x^3=a$

Question

اگر معادله‌ای درجۀ سه به شکل زیر داشته باشیم:

$$\large x^3=a, (a \in\mathbb{R})$$

ریشه‌های مختلط این معادله به‌صورت زیر هستند:

$$x_1= \sqrt[3]{a} $$ $$x_{2,3}= \frac{- \sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} }{2} $$

اولین ریشۀ این معادله با ریشۀ سوم گرفتن از طرفین به‌دست می‌آید، اما پرسش اصلی من این است که ریشه‌های دوم و سوم چگونه به‌دست می‌آیند؟

Answer 1

به نام خدا

برای به‌دست آوردن تمام ریشه‌های معادلهٔ زیر:

$$x^3=a, (x \in\mathbb{C}, a \in\mathbb{R})$$

ابتدا از طرفین معادله، ریشۀ سوم می‌گیریم:

$$x^3=a \Rightarrow x= \sqrt[3]{a}$$

یکی از ریشه‌های معادلهٔ $x^3 =a$، برابر با $ \sqrt[3]{a} $ شد، پس چندجمله‌ای $x^3-a$ بر $x- \sqrt[3]{a} $ بخش‌پذیر است. اگر عملیات تقسیم $x^3-a$ بر $x- \sqrt[3]{a} $ را انجام دهیم، حاصل برابر با $x^2+ \sqrt[3]{a} \cdot x+ \sqrt[3]{a^2} $ می‌شود که یک چندجمله‌ایِ درجۀ دوم برحسب $x$ است. با به‌دست آوردن ریشه‌های آن به $\large x= \frac{ -\sqrt[3]{a}\pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} }{2} $ می‌رسیم. پس سه ریشۀ معادلۀ $x^3 = a$، به‌صورت زیر هستند:

$$ x_1 = \sqrt[3]{a}\\ x_2 = \frac{-\sqrt[3]{a} + i \sqrt{3} \sqrt[3]{a}}{2}\\ x_3 = \frac{-\sqrt[3]{a} - i \sqrt{3} \sqrt[3]{a}}{2} $$

Answer 2

هر معادله بصورت $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_1x^1+a_0 $ در مجموعه اعداد مختلط $n$ ریشه دارد (البته ممکنه بعضی ریشه ها تکراری باشند). پس معادله $x^3=a$ سه تا ریشه دارد و ریشه‌هاش همان‌هایی هستند که در سوال نوشته‌اید. برای اطمینان کافیست به توان سه برسانید تا $a$ را بدست آورید.

برای بدست آوردن ریشه‌های $n$-ام می‌توانید به صفحه زیر رجوع کنید:

https://math.irancircle.com/17770

Answer 3

برای یافتن ریشه‌های دوم و سوم معادله درجه سه به شکل $x^3 = a$، می‌توانیم از روش تجزیه به عامل‌های خطی و درجه دو استفاده کنیم. برای این کار، ابتدا یک تغییر متغیر انجام می‌دهیم تا معادله را به شکل استاندارد $t^3 - pt - q = 0$ درآوریم. با جایگزینی $x = t - \frac{a}{t}$ در معادله اصلی، داریم:

$$(t - \frac{a}{t})^3 = a$$

با باز کردن پرانتز و ساده‌سازی، به معادله زیر می‌رسیم:

$$t^6 - a t^2 - a^2 = 0$$

حال، با جایگزینی $t^2 = u$، معادله را به شکل استاندارد درجه سه در می‌آوریم:

$$u^3 - a u - a^2 = 0$$

که در آن $p = -a$ و $q = -a^2$ هستند. برای یافتن ریشه‌های این معادله، از فرمول کاردانو استفاده می‌کنیم:

$$u_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$$

با جایگزینی مقادیر $p$ و $q$، داریم:

$$u_1 = \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}$$

حال، با توجه به اینکه $t^2 = u_1$، دو ریشه $t_1$ و $t_2$ را به دست می‌آوریم:

$$t_1 = \sqrt{u_1}, \quad t_2 = -\sqrt{u_1}$$

در نهایت، با جایگزینی $t_1$ و $t_2$ در $x = t - \frac{a}{t}$, ریشه‌های دوم و سوم معادله اصلی را به دست می‌آوریم:

$$x_2 = t_1 - \frac{a}{t_1} = \sqrt{u_1} - \frac{a}{\sqrt{u_1}} = \sqrt{u_1} - \frac{a}{\sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}}$$

$$x_3 = t_2 - \frac{a}{t_2} = -\sqrt{u_1} - \frac{a}{-\sqrt{u_1}} = -\sqrt{u_1} + \frac{a}{\sqrt{u_1}} = -\sqrt{u_1} + \frac{a}{\sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}}$$

با ساده‌سازی و استفاده از خواص ریشه سوم، می‌توانیم ریشه‌های دوم و سوم را به شکل زیر بنویسیم:

$$x_2, x_3 = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} \left(1 - \frac{1}{2 \sqrt[3]{a^2} \left(\sqrt[3]{\frac{a^2}{2} + \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{a^2}{2} - \sqrt{\frac{a^4}{4} - \frac{a^3}{27}}}\right)}\right)$$

با ساده‌سازی بیشتر، به شکل نهایی ریشه‌های دوم و سوم می‌رسیم:

$$x_2, x_3 = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \sqrt[3]{a} \left(1 - \frac{1}{2 \sqrt[3]{a}}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right)$$

که با توجه به اینکه $a$ مثبت است، می‌توانیم بنویسیم:

$$x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}} = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \left(\frac{a - \frac{1}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}\right)$$

و با ساده‌سازی نهایی، به شکل زیر می‌رسیم:

$$x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a} - \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{a}}{2 \sqrt[3]{a}} = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right)$$

که با توجه به اینکه $a$ مثبت است، می‌توانیم بنویسیم:

$$x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}} = -\frac{a}{\sqrt[3]{a}} \pm i \sqrt{3} \left(\frac{a^2 - \frac{a}{2}}{\sqrt[3]{a} + \frac{1}{2}}\right)$$

و با ساده‌سازی نهایی، به شکل زیر می‌رسیم:

$$x_2, x_3 = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^2} - \frac{\sqrt[3]{a}}{2}\right) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{a}}{2 \sqrt[3]{a}} = -\sqrt[3]{a} \pm i \sqrt{3} \left(\sqrt[3]{a^3} - \frac{a}{2}\right)$$