یک گروه توپولوژی چه بود؟
یک گروه به همراه یک توپولوژی بر رویش که عمل گروه و وارون نسبت به این توپولوژی تابعهایی پیوسته میشدند. یک گروه یک مجموعه است به همراه یک عمل صفرتایی (عنصر همانی)، یک عمل یکتایی (وارون گرفتن) و یک عمل دوتایی (عمل گروه). اگر پیرامون عمل $n$-تایی و ساختارهای جبری نمیدانید پاسخ آمده در این پیوند را بخوانید. عمل صفرتایی آن بدیهی نسبت به هر توپولوژی دلخواهی که روی مجموعهٔ پسزمینهٔ این گروه بگذارید پیوسته است. زیرا تصویر وارون هر چیزی به وسیلهٔ این تابع تهی یا کل مجموعهٔ تکعضوی دامنهاش میشود.
بنابراین تنها تابع
$$\left\{ \begin{array}{rl} f_1:G & \rightarrow G\\ g & \mapsto g^{-1} \end{array} \right. $$
و تابع
$$\left\{ \begin{array}{rl} f_2:G\times G & \rightarrow G\\ (g,h) & \mapsto g\cdot h \end{array} \right. $$
امکان پیوسته یا ناپیوسته بودن دارند. اگر توپولوژیای که انتخاب کردهاید این دو تابع را پیوسته کند آنگاه گروهتان به همراه آن توپولوژی یک گروهِ توپولوژیک گفته میشود.
اینک به پرسش شما میپردازیم. اگر کمی نوشتن ریاضی یاد بگیرید و درس را فهمیدهباشید، این تمرین یک تمرین بسیار ساده است!
تابعِ شما به شکل زیر است
$$\left\{ \begin{array}{rl} \phi_n:G^n& \rightarrow G\\ (g_1,g_2,\cdots,g_n)& \mapsto g_1\cdot g_2\cdot\cdots\cdot g_n \end{array} \right. $$
توجه کنید که بنا به فرض که با یک گروهِ توپولوژیک شروع کردهاید، عمل گروهتان در توپولوژی روی آن پیوسته است. بعلاوه میدانیم که ترکیب تابعهای پیوسته، تابعی پیوسته میشود.
دقت کنید که برای هر $n\geq2$ داریم
$$\phi_n=f_2\circ(\phi_{n-1},id_G)$$
که منظور از
$id_G$
تابع همانی از
$G$
به
$G$
است.
بعلاوه
$\phi_1=id_G$
و
$\phi_2=f_2$
. پس با یک استقرای ریاضی
$\phi_n$
برای هر
$n\in\mathbb{N}$
پیوسته میشود.
