به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
22,242 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20 (1,057 امتیاز)

ثابت کنید که نسبت محیط و مساحت دو شکل متشابه به ترتیب برابر نسبت تشابه و مجذور نسبت تشابه است. خیلی ممنون

3 پاسخ

+2 امتیاز
توسط A Math L (2,284 امتیاز)

اگر اضلاع یکی برابر $ a_{1} ، a_{2} ، a_{3} ،...، a_{n} $ و باشد و نسبت تشابه برابر $k$ باشد نسبت محیط برابر است با :

$ \frac{k a_{1} + ka_{2} ...+k a_{n} }{ a_{1} + a_{2} +...+ a_{n} } = k$

برای قسمت دوم سوال ، اول با استفاده از رابطه $ S= \frac{1}{2} ab.sin(C)$ میتوان این قضیه را برای مثلث اثبات کرد . .سپس شکل را به مثلث هایی که هر 3 راس آنها راس چند ضلعی اند تقسیم میکنیم . و ثابت میکنیم که این مثلث ها 2 به 2 به نسبت $k$ متشابهند .

میتوان فهمید بعضی از مثلث ها 2 ضلعشان 2 ضلع چند ضلعی اند و با استفاده از تشابه 2 ضلع و برابری زاویه بین تشابه این چنین مثلث ها با نسبت $k$ اثبات میشود .

باقی مثلث ها یک ضلع چند ضلعی و 2 ضلع مثلث های دیگر را در بر میگیرند که با استفاده از تشابه مثلث های قسمت بالا و تشابه چند ضلعی میتوان تشابه این چند ضلعی ها را نیز با نسبت $k$ ثابت کرد .

اگر مساحت مثلثها در یک چند ضلعی برابر $ S_{1} ، S_{2} ،...، S_{m} $ باشد مثلثهای دیگری برابر است با $ k^2S_{1} ،k^2 S_{2} ،...،k^2 S_{m}$ در نتیجه نسبت مساحت چند ضلعی برابر $k^2 = \frac{k^2 S_{1} +...k^2 S_{m} }{ S_{1} +...+ S_{m} } $ میباشد .

+1 امتیاز
توسط saderi7 (7,513 امتیاز)

enter image description here

enter image description here

0 امتیاز
توسط seiedirani (92 امتیاز)

با سلام واحترام در تعریف تشابه همیشه نسبت تشابه مساوی نسبت طول اضلاع به یکدیگر است مثلا اگر طول ضلع نظیر در شکل A دوبرابر ضلع نظیر در شکل B باشد آن وقت نسبت تشابه آنها 2 یا 0.5 بر حسب ملاک بودن A یا B خواهد بود . ولی در مساحت این نسبت به توان دو خواهد رسید (و نه مجذور) زیرا در محاسبه مساحت ، طول دو بار به هم ضرب میشود. یعنی اگر نسبت تشابه 2 باشد نسبت مساحت 4 خواهد بود . در خصوص حجم نیز این مقدار توان 3 خواهد بود. میتوانید درستی این موضوع را با چند مثال ساده امتحان کنید


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...