به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
255 بازدید
در دبیرستان توسط Smhm (30 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

از طریق برهان خلف ثابت کنید نسبت دو قطر در دو دایره برابر است با نسبت محیط دو دایره

فرض کنید دایره اول c1 با قطر d1 و محیط p1 و دایره دوم c2 با قطر d2 و محیط p2 هستند.

بدون آسیب به کلیت مساله فرض میکنیم نسبت دو قطر در دو دایره مفروض c1 و c2 کوچکتر از نسبت محیط دایره c1 به c2 باشد یعنی $ \frac{d1}{d2} < \frac{p1}{p2} $

توسط alitk (312 امتیاز)
+1
سلام‌.شما در حدود سه ساعت پیش همین پرسش را پرسیده اید.دقت کنید اگر چندین بار پرسش را تکرار کنید کمکی به حل زودتر نمی کند،اگر کسی بخواهد،اقدام به حل میکند!پس تکرار پرسش جایز نیست‌.
لینک پرسش قبلی تان:https://math.irancircle.com/15567/ثابت-کنیدنسبت-قطر-دو-دایره-برابر-نسبت-محیط-های-ان-دایره-برهان
توسط salar (755 امتیاز)
ویرایش شده توسط salar
در فرض خلف باید کلیت را غیر از حکم مسئله در نظر بگیریم
پس بجای علامت کوچکتر باید از نامساوی استفاده کنیم
و از آنجایی که به تناقض میرسد پس خلاف فرض خلف که خلاف خلاف حکم درست است که خلاف نامساوی ، مساوی میشه
ولی خلاف کوچکتر، بزرگتر مساوی میشه

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط MSS (1,653 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

فرض کنید دایره اول، $C_1$، دارای قطر به اندازهٔ $d_1$ و محیط $p_1$، و دایره دوم، $C_2$، دارای قطر به اندازهٔ $d_2$ و محیط $p_2$ هستند.

فرض خلف می‌کنیم که نسبتِ دو قطر در دو دایرهٔ $C_1$ و $C_2$ با نیستِ محیط دو دایره برابر نباشد. بدون کاستن از کلیت فرض کنید نسبت قطرها کوچکتر از نسبتِ محیط‌ها است، یعنی $ \frac{d1}{d2} < \frac{p1}{p2} $. در اینصورت

$$\frac{d1}{d2} < \frac{p1}{p2} \Longrightarrow \frac{p2}{d2} < \frac{p1}{d1} \Longrightarrow \text{ تناقض } $$

دلیل تناقض این است که نسبت محیط به قطر در تمام دایره‌ها برابر $\pi$ است. پس نتیجه می‌شود که فرض خلف غلط است و از آنجا باید $ \frac{d1}{d2} = \frac{p1}{p2} $.

0 امتیاز
توسط salar (755 امتیاز)

رابطه قطر با محیط دایره:

$$p=d \times \pi$$

حکم مسئله :

$$\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}$$

فرض خلف (خلاف حکم):

$$1) \frac{d_{1}}{d_{2}}≠ \frac{p_{1}}{p_{2}}$$

و از رابطه قطر با محیط داریم:

$$2) \frac{p_{1}}{p_{2}}= \frac{d_{1} \times \pi}{d_{2} \times \pi} =\frac{d_{1}}{d_{2}}$$

از $1$ و $2$ نتیجه میگیریم که:

$$\frac{d_{1}}{d_{2}}≠ \frac{d_{1}}{d_{2}}$$

از آنجایی که هر عدد برابر خودش است پس به تناقض رسیدیم درنتیجه خلاف فرض خلف که حکم مسئله میباشد همیشه درست است. پس:

$$\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}$$
توسط salar (755 امتیاز)
+2
اگر بخواهیم بدون فرض خلف به جواب برسیم:
$$\frac{d_{1}}{d_{2}}= \frac{d_{1}. \pi}{d_{2}.
\pi}= \frac{p_{1}}{p_{2}} $$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...