با برهان خلف ثابت کنید که نسبت دو قطر در دو دایره برابر است با نسبت محیط دو دایره

Question

از طریق برهان خلف ثابت کنید نسبت دو قطر در دو دایره برابر است با نسبت محیط دو دایره

فرض کنید دایره اول c1 با قطر d1 و محیط p1 و دایره دوم c2 با قطر d2 و محیط p2 هستند.

بدون آسیب به کلیت مساله فرض میکنیم نسبت دو قطر در دو دایره مفروض c1 و c2 کوچکتر از نسبت محیط دایره c1 به c2 باشد یعنی $ \frac{d1}{d2} < \frac{p1}{p2} $

Comments

سلام‌.شما در حدود سه ساعت پیش همین پرسش را پرسیده اید.دقت کنید اگر چندین بار پرسش را تکرار کنید کمکی به حل زودتر نمی کند،اگر کسی بخواهد،اقدام به حل میکند!پس تکرار پرسش جایز نیست‌.
لینک پرسش قبلی تان:https://math.irancircle.com/15567/ثابت-کنیدنسبت-قطر-دو-دایره-برابر-نسبت-محیط-های-ان-دایره-برهان

---

در فرض خلف باید کلیت را غیر از حکم مسئله در نظر بگیریم
پس بجای علامت کوچکتر باید از نامساوی استفاده کنیم
و از آنجایی که به تناقض میرسد پس خلاف فرض خلف که خلاف خلاف حکم درست است که خلاف نامساوی ، مساوی میشه
ولی خلاف کوچکتر، بزرگتر مساوی میشه

Answer 1

فرض کنید دایره اول، $C_1$، دارای قطر به اندازهٔ $d_1$ و محیط $p_1$، و دایره دوم، $C_2$، دارای قطر به اندازهٔ $d_2$ و محیط $p_2$ هستند.

فرض خلف می‌کنیم که نسبتِ دو قطر در دو دایرهٔ $C_1$ و $C_2$ با نیستِ محیط دو دایره برابر نباشد. بدون کاستن از کلیت فرض کنید نسبت قطرها کوچکتر از نسبتِ محیط‌ها است، یعنی $ \frac{d1}{d2} < \frac{p1}{p2} $. در اینصورت

$$\frac{d1}{d2} < \frac{p1}{p2} \Longrightarrow \frac{p2}{d2} < \frac{p1}{d1} \Longrightarrow \text{ تناقض } $$

دلیل تناقض این است که نسبت محیط به قطر در تمام دایره‌ها برابر $\pi$ است. پس نتیجه می‌شود که فرض خلف غلط است و از آنجا باید $ \frac{d1}{d2} = \frac{p1}{p2} $.

Answer 2

رابطه قطر با محیط دایره:

$$p=d \times \pi$$

حکم مسئله :

$$\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}$$

فرض خلف (خلاف حکم):

$$1) \frac{d_{1}}{d_{2}}≠ \frac{p_{1}}{p_{2}}$$

و از رابطه قطر با محیط داریم:

$$2) \frac{p_{1}}{p_{2}}= \frac{d_{1} \times \pi}{d_{2} \times \pi} =\frac{d_{1}}{d_{2}}$$

از $1$ و $2$ نتیجه میگیریم که:

$$\frac{d_{1}}{d_{2}}≠ \frac{d_{1}}{d_{2}}$$

از آنجایی که هر عدد برابر خودش است پس به تناقض رسیدیم درنتیجه خلاف فرض خلف که حکم مسئله میباشد همیشه درست است. پس:

$$\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}$$

Comments

اگر بخواهیم بدون فرض خلف به جواب برسیم:
$$\frac{d_{1}}{d_{2}}= \frac{d_{1}. \pi}{d_{2}.
\pi}= \frac{p_{1}}{p_{2}} $$