اگر اضلاع یکی برابر $ a_{1} ، a_{2} ، a_{3} ،...، a_{n} $ و باشد و نسبت تشابه برابر $k$ باشد نسبت محیط برابر است با :
$ \frac{k a_{1} + ka_{2} ...+k a_{n} }{ a_{1} + a_{2} +...+ a_{n} } = k$
برای قسمت دوم سوال ، اول با استفاده از رابطه $ S= \frac{1}{2} ab.sin(C)$ میتوان این قضیه را برای مثلث اثبات کرد . .سپس شکل را به مثلث هایی که هر 3 راس آنها راس چند ضلعی اند تقسیم میکنیم . و ثابت میکنیم که این مثلث ها 2 به 2 به نسبت $k$ متشابهند .
میتوان فهمید بعضی از مثلث ها 2 ضلعشان 2 ضلع چند ضلعی اند و با استفاده از تشابه 2 ضلع و برابری زاویه بین تشابه این چنین مثلث ها با نسبت $k$ اثبات میشود .
باقی مثلث ها یک ضلع چند ضلعی و 2 ضلع مثلث های دیگر را در بر میگیرند که با استفاده از تشابه مثلث های قسمت بالا و تشابه چند ضلعی میتوان تشابه این چند ضلعی ها را نیز با نسبت $k$ ثابت کرد .
اگر مساحت مثلثها در یک چند ضلعی برابر $ S_{1} ، S_{2} ،...، S_{m} $ باشد مثلثهای دیگری برابر است با $ k^2S_{1} ،k^2 S_{2} ،...،k^2 S_{m}$ در نتیجه نسبت مساحت چند ضلعی برابر $k^2 = \frac{k^2 S_{1} +...k^2 S_{m} }{ S_{1} +...+ S_{m} } $ میباشد .
