به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
898 بازدید
در دانشگاه توسط amirm20 (1,062 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

فرمول کاملا قطبی برای فاصلهٔ دو نقطه از هم در دستگاه قطبی چگونه است؟ فاصلهٔ یک نقطه و یک خط در دستگاه قطبی چطور؟

توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
@amirm20 در یک پست، یک پرسش بپرسید.

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط AmirHosein (14,040 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

دو نقطه در مختصات قطبی $A=(r_1,\theta_1)$ و $B=(r_2,\theta_2)$ بردارید. فاصلهٔ این دو نقطه از یکدیگر را با $d(A,B)$ نمایش دهید. برای اینکه متوجه شوید که از یک دوتایی مرتب چه زمانی منظورمان یک دوتایی در مختصات قطبی و چه زمانی یک دوتایی در مختصات دکارتی است برای دوتایی‌ها زیراندیس‌های $p$ برای قطبی (ابتدای واژهٔ polar) و $d$ برای دکارتی (ابتدای واژهٔ Descartes) استفاده می‌کنیم. البته خوب است بدانید که در انگلیسی به جای مختصات دکارتی، مختصات کارتزی Cartesian coordinate گفته می‌شود که از لاتین‌شدهٔ نام این ریاضی‌دان فرانسوی می‌آید Cartesius. پس نقطهٔ $(0,1)_d$ و نقطهٔ $(1,\frac{\pi}{2})_p$ هر دو یک نقطه هستند. اکنون یک مقدار محاسبهٔ ساده!

\begin{align} & A=(r_1,\theta_1)_p=(r_1\cos\theta_1,r_1\sin\theta_1)_c\\ & B=(r_2,\theta_2)_p=(r_2\cos\theta_2,r_2\sin\theta_2)_c\\ & d(A,B)=\sqrt{(r_2\cos\theta_2-r_1\cos\theta_1)^2+(r_2\sin\theta_2-r_1\sin\theta_1)^2}\\ & =\sqrt{\color{blue}{r_1^2\cos^2\theta_1}+\color{green}{r_2^2\cos^2\theta_2}-\color{orange}{2r_1r_2\cos\theta_1\cos\theta_2}+\color{blue}{r_1^2\sin^2\theta_1}+\color{green}{r_2^2\sin^2\theta_2}-\color{orange}{2r_1r_2\sin\theta_1\sin\theta_2}}\\ & =\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_1-\theta_2)} \end{align}

پس فرمول فاصلهٔ دو نقطه را بدون تبدیل مختصاتشان از قطبی به دکارتی می‌توان با فرمول خط آخر می‌توان بدست آورد. می‌توانستید به جای محاسبهٔ بالا از قانون کسینوس‌ها استفاده کنید. فاصلهٔ دو نقطهٔ $A$ و $B$ اندازهٔ بردار $\overrightarrow{A-B}$ است. یک سه‌گوش با این سه بردار بکشید با قانون کسینوس‌ها طول بردار تفاضل که ضلع روبروی زاویهٔ بین دو بردار $\overrightarrow{A}$ و $\overrightarrow{B}$ است برابر با ضرب اندازهٔ این دو بردار در کسینوس زاویهٔ بین که برابر با $\theta_2-\theta_1$ است می‌شود. پس می‌بینید که روش‌های گوناگونی برای رسیدن به فرمول‌های مورد نظرتان هست.

اکنون به سراغ خط در مختصات قطبی برویم. به فرض خطی که می‌خواهید معادله‌اش را بنویسید با محور $x$ها زاویهٔ $\alpha$ بسازد و از نقطهٔ $(r_0,\theta_0)_p$ بگذرد. آنگاه یک نقطهٔ دلخواه مانند $(r,\theta)_p$ بر روی این خط در دستگاه پارامتری زیر به ازای یک مقدار برای پارامتر $t$ صدق می‌کند.

$$(r\cos\theta,r\sin\theta)_d=(r_0\cos\theta_0+t\cos\alpha,r_0\sin\theta_0+t\sin\alpha)_d$$

برای اینکه بدانید این رابطه از کجا آمده‌است یک شکل بکشید و در واقع از همان $(x,y)_d=(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\sin\alpha)_d$ می‌آید. پس محاسبه‌های زیر را داریم.

\begin{align} & r\cos\theta=r_0\cos\theta_0+t\cos\alpha\\ & r\sin\theta=r_0\sin\theta_0+t\sin\alpha\\ & \frac{r\cos\theta-r_0\cos\theta_0}{\cos\alpha}=\frac{r\sin\theta-r_0\sin\theta_0}{\sin\alpha}\\ & \frac{r}{r_0}=\frac{\frac{\cos\theta_0}{\cos\alpha}-\frac{\sin\theta_0}{\sin\alpha}}{\frac{\cos\theta}{\cos\alpha}-\frac{\sin\theta}{\sin\alpha}}\\ & r=r_0\frac{\sin(\alpha-\theta_0)}{\sin(\alpha-\theta)} \end{align}

که البته فرض ناصفر بودن $r_0$ و $\sin\theta_0$ و $\cos\theta_0$ را کرده‌ایم و برای حالت‌های صفر بودن را خودتان تفکیک و محاسبه کنید. دوباره می‌توانید به جای محاسبه‌های بالا از استدلال‌های هندسی استفاده کنید یا به جای یک نقطه و زاویهٔ با محور $x$ها، از دو نقطه استفاده کنید و غیره. برای نمونه اگر خطی با بخش مثبت محور $x$ها زاویهٔ 45 بسازد و از نقطهٔ $(0,1)_d$ بگذرد داریم $\alpha=\frac{\pi}{4}$ و مختصات نقطه $(1,\frac{\pi}{2})_p$ است، پس با جایگذاری در معادلهٔ آخر داریم رابطهٔ قطبی خط‌مان برابر است با $r=\frac{-\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{4}-\theta)}$. در زیر این خط را با نرم‌افزار میپل کشیده‌ایم.

plots:-polarplot(sin(Pi/4-Pi/2)/sin(Pi/4-theta),theta=-2*Pi..2*Pi,coordinateview=[0..5,0..2*Pi],color=blue,thickness=4);

توضیحات تصویر

همانطور که می‌بینید یک خط است که از نقطهٔ $(0,1)_d$ می‌گذرد و با نیمساز یک‌چهارم یکُم و سوم موازی است.

برای فاصله نقطهٔ $A=(r_1,\theta_1)_p$ از خط $\ell$ که با بخش مثبت محور $x$ها زاویهٔ $\alpha$ می‌سازد و از نقطهٔ $B=(r_2,\theta_2)_p$ می‌گذرد توجه کنید که این فاصله برابر با اندازهٔ ضرب خارجیِ دو بردارِ $\overrightarrow{B-A}$ و بردار یکهٔ راستای زاویهٔ $\alpha$ است. مختصات قطبیِ $\overrightarrow{B-A}$ دارای مختص نخستِ $d(A,B)$ است که فرمول قطبی‌اش را در بالا دارید. این مقدار را با $|AB|$ در ادامهٔ این متن نمایش می‌دهیم. و توجه کنید که داریم

$$\overrightarrow{A}-\overrightarrow{A-B}=\overrightarrow{B}$$

اگر مختص دوم قطبی نقطهٔ مربوط به بردار $\overrightarrow{A-B}$ را با $\phi$ نمایش دهیم آنگاه داریم

\begin{align} & \sqrt{r_1^2+|AB|^2-2r_1|AB|\cos(\theta_1-\phi)}=r_2\\ & \Longrightarrow \phi=\theta_1-\arccos\frac{r_2^2-r_1^2-|AB|^2}{2r_1|AB|} \end{align}

اکنون اندازهٔ ضرب خارجی دو بردار دوتاییِ دلخواه $(r_1,\theta_1)_p$ و $(r_2,\theta_2)_p$ برابر با

\begin{align} \begin{vmatrix} r_1\cos\theta_1 & r_2\cos\theta_2\\ r_1\sin\theta_1 & r_2\sin\theta_2 \end{vmatrix} &= r_1r_2(\cos\theta_1\sin\theta_2-\sin\theta_1\cos\theta_2)\\ &= r_1r_2\sin(\theta_2-\theta_1) \end{align}

بردار یکهٔ راستای زاویهٔ $\alpha$ نیز برابر با $(1,\alpha)_p$ است. با کنار هم گذاشتن اینها یک فرمول کاملا قطبی برای فاصلهٔ یک نقطه از یک خط بدست می‌آورید.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...