مساحت یکی از گلبرگهای $r\sin(2\theta)$

Question

مساحت یک گلبرگ از گلبرگ‌های تشکیل شده بوسیلهٔ $r\sin(2\theta)$ را محاسبه کنید و ثابت کنید که مساحت گلبرگ برابر با نصف مساحت دایرهٔ دربرگیرندهٔ آن است. این پرسش در درس ریاضی عمومی مطرح شده است.

Answer 1

توجه کنید که نخستین گلبرگ از زاویهٔ $\theta=0$ شروع و به $\theta=\frac{\pi}{2}$ ختم می‌شود. پارامتر ضابطهٔ گل را $R$ در نظر بگیرید و $r$ و $\theta$ را برای مختصات قطبی نگه‌دارید. قطر (فاصلهٔ دورترین جفت‌نقطه از) شکل ما $R$ است پس شعاع دایرهٔ دربرگیرنده‌اش برابر با $\frac{R}{2}$ می‌شود (مرکز این دایره میانهٔ پاره‌خط وصل‌کنندهٔ دو نقطهٔ شکل با بیشترین فاصله است). می‌توانید به شکل زیر نگاه کنید.

مساحت دایرهٔ دربرگیرندهٔ گلبرگ برابر است با

$$\pi(\frac{R}{2})^2=\frac{\pi R^2}{4}$$

اینک مساحت گلبرگ را بیابیم.

$$\begin{array}{ll}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{R\sin 2\theta}rdrd\theta & =\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\left.\frac{1}{2}r^2\right]_0^{R\sin 2\theta})d\theta\\ & =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}R^2\sin^22\theta d\theta\\ & \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}R^2\frac{1-\cos 4\theta}{2}d\theta\\ & =\frac{1}{4}R^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 4\theta)d\theta\\ & =\frac{1}{4}R^2(\left.\theta-\frac{1}{4}\sin 4\theta)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ & =\frac{\pi R^2}{8}\end{array}$$ که نصف مساحت دایرهٔ دربرگیرنده (احاطه‌کننده، محیط) اش می‌شود.