Question

اثبات کنید اگر$(a,b)=1$ انگاه $(ac,b)=(c,b)$.

Answer 1

فرض کنید $(ac, b)=d$ و $(c, b)=d'$

چون $d'|c$ لذا $d'|ac$ از این و اینکه $d'|b$ داریم $d'\leq d$

از طرف دیگر چون $(a, b)=1$ پس $\alpha, \beta$ موجودند که $\alpha a+\beta b=1$ پس $\alpha ac+\beta bc=c$

اما $d| ac$ و $d| b$ پس $d|\alpha ac+\beta bc=c$ یعنی $d|c$و $d|b$ پس $d\leq d'$